2009 年真题

选择题

1

当 $x \to 0$ 时， $f (x) = x - sin a x$ 与 $g (x) = x^{2} ln (1 - b x)$ 等价无穷小，则

正确答案：A

$f (x) = x - sin a x$ ， $g (x) = x^{2} ln (1 - b x)$ 为等价无穷小，则

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to 0 lim \frac{x - sin a x}{x ^{2} ln ( 1 - b x )} = x \to 0 lim \frac{x - sin a x}{x ^{2} \cdot ( - b x )} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{1 - a cos a x}{- 3 b x ^{2}} = 洛必达 x \to 0 lim \frac{a ^{2} sin a x}{- 6 b x} = x \to 0 lim \frac{a ^{2} sin a x}{- \frac{6 b}{a} \cdot a x} = - \frac{a ^{3}}{6 b} = 1 \Rightarrow a^{3} = - 6 b

另外， $lim_{x \to 0} \frac{1 - a c o s a x}{- 3 b x ^{2}}$ 存在，蕴含 $1 - a cos a x \to 0 (x \to 0)$ ，故 $a = 1$ ，排除 (D)。

所以本题选 (A)。

2

如图，正方形 ${(x, y) ∣ ∣ x ∣ \leq 1, ∣ y ∣ \leq 1}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_{k} (k = 1, 2, 3, 4)$ ， $I_{k} = \iint_{D_{k}} y cos x d x d y$ ，则 $max_{1 \leq k \leq 4} {∣ I_{k} ∣} = ()$

高等数学多元函数积分学重积分的概念与性质

正确答案：A

本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

$D_{2}$ 、 $D_{4}$ 两区域关于 $x$ 轴对称，而 $f (x, - y) = - y cos x = - f (x, y)$ ，即被积函数是关于 $y$ 的奇函数，所以 $I_{2} = I_{4} = 0$ 。

$D_{1}$ 、 $D_{3}$ 两区域关于 $y$ 轴对称，而 $f (- x, y) = y cos (- x) = y cos x = f (x, y)$ ，即被积函数是关于 $x$ 的偶函数，因此：

I_{1} = 2 \iint_{{(x, y) ∣ y \geq x, 0 \leq x \leq 1}} y cos x d x d y > 0

I_{3} = 2 \iint_{{(x, y) ∣ y \leq - x, 0 \leq x \leq 1}} y cos x d x d y

在 $I_{3}$ 的积分区域内， $y \leq - x \leq 0$ 且 $cos x > 0$ ，故 $I_{3} \leq 0$ 。

因此，最大值为 $I_{1}$ 。

3

设函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上的图形如下图所示，则函数 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 的图形为

A

B

C

D

高等数学一元函数积分学变限积分

正确答案：D

此题为定积分的应用知识考核。由 $y = f (x)$ 的图形可见，其图像与 $x$ 轴、 $y$ 轴及 $x = x_{0}$ 所围图形的代数面积为所求函数 $F (x)$ ，从而可得出以下几个方面的特征：

当 $x \in [0, 1]$ 时， $F (x) \leq 0$ ，且单调递减；
当 $x \in [1, 2]$ 时， $F (x)$ 单调递增；
当 $x \in [2, 3]$ 时， $F (x)$ 为常函数；
当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $F (x) \leq 0$ ，为线性函数，且单调递增；
由于 $F (x)$ 为连续函数，结合上述特点，可见正确选项为 (D)。

4

设有两个数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，若 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，则

高等数学无穷级数常数项级数敛散性的判定

正确答案：C

方法一：举反例：

(A) 取 $a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{n}$ ，此时 $\sum b_{n}$ 收敛但 $\sum a_{n} b_{n} = \sum \frac{1}{n}$ 发散，故 (A) 错误；

(B) 取 $a_{n} = b_{n} = \frac{1}{n}$ ，此时 $\sum b_{n}$ 发散但 $\sum a_{n} b_{n} = \sum \frac{1}{n ^{2}}$ 收敛，故 (B) 错误；

(D) 取 $a_{n} = b_{n} = \frac{1}{n}$ ，此时 $\sum ∣ b_{n} ∣$ 发散但 $\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n ^{4}}$ 收敛，故 (D) 错误；

方法二：

因为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ，则由定义可知 $\exists N_{1}$ ，使得 $n > N_{1}$ 时，有 $∣ a_{n} ∣ < 1$ 。

又因为 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ b_{n} ∣$ 收敛，可得 $lim_{n \to \infty} ∣ b_{n} ∣ = 0$ ，则由定义可知 $\exists N_{2}$ ，使得 $n > N_{2}$ 时，有 $∣ b_{n} ∣ < 1$ 。

从而，当 $n > N_{1} + N_{2}$ 时，有 $a_{n}^{2} b_{n}^{2} < ∣ b_{n} ∣$ ，则由正项级数的比较判别法可知 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛。

故答案为 (C)。

5

设 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 是 3 维向量空间 $R^{3}$ 的一组基，则由基 $α_{1}$ 、 $\frac{1}{2} α_{2}$ 、 $\frac{1}{3} α_{3}$ 到基 $α_{1} + α_{2}$ 、 $α_{2} + α_{3}$ 、 $α_{3} + α_{1}$ 的过渡矩阵为

线性代数向量向量组之间的线性表示

正确答案：A

因为 $(η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) A$ ，则 $A$ 称为基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 到 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 的过渡矩阵。

则由基 $α_{1}$ 、 $\frac{1}{2} α_{2}$ 、 $\frac{1}{3} α_{3}$ 到 $α_{1} + α_{2}$ 、 $α_{2} + α_{3}$ 、 $α_{3} + α_{1}$ 的过渡矩阵 $M$ 满足：

(α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}) = (α_{1}, \frac{1}{2} α_{2}, \frac{1}{3} α_{3}) M = (α_{1}, \frac{1}{2} α_{2}, \frac{1}{3} α_{3}) 120023103

所以此题选（A）。

6

设 $A$ ， $B$ 均为 2 阶矩阵， $A^{*}$ ， $B^{*}$ 分别为 $A$ ， $B$ 的伴随矩阵。若 $∣ A ∣ = 2$ ， $∣ B ∣ = 3$ ，则分块矩阵 $(O B A O)$ 的伴随矩阵为

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

正确答案：B

根据 $C C^{*} = ∣ C ∣ E$ ，若 $C$ 可逆，则 $C^{*} = ∣ C ∣ C^{- 1}$ 。

分块矩阵

(O B A O)

的行列式为

(O B A O) = (- 1)^{2 \times 2} ∣ A ∣∣ B ∣ = 2 \times 3 = 6,

即矩阵可逆。

于是有

(O B A O)^{*} = O B A O (O B A O)^{- 1} = 6 (O A^{- 1} B^{- 1} O) = 6 (O \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} \frac{1}{∣ B ∣} B^{*} O) = 6 (O \frac{1}{2} A^{*} \frac{1}{3} B^{*} O) = (O 3 A^{*} 2 B^{*} O) .

故答案为 (B)。

7

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F (x) = 0.3Φ (x) + 0.7Φ (\frac{x - 1}{2})$ ，其中 $Φ (x)$ 为标准正态分布函数，则 $EX =$

概率论与数理统计随机变量的数字特征数学期望与方差

正确答案：C

因为 $F (x) = 0.3Φ (x) + 0.7Φ (\frac{x - 1}{2})$ ，所以

F^{'} (x) = 0.3 Φ^{'} (x) + \frac{0.7}{2} Φ^{'} (\frac{x - 1}{2}) .

于是，

EX = \int_{- \infty}^{+ \infty} x F^{'} (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} x [0.3 Φ^{'} (x) + 0.35 Φ^{'} (\frac{x - 1}{2})] d x = 0.3 \int_{- \infty}^{+ \infty} x Φ^{'} (x) d x + 0.35 \int_{- \infty}^{+ \infty} x Φ^{'} (\frac{x - 1}{2}) d x .

而 $\int_{- \infty}^{+ \infty} x Φ^{'} (x) d x = 0$ 。

令 $\frac{x - 1}{2} = u$ ，则

\int_{- \infty}^{+ \infty} x Φ^{'} (\frac{x - 1}{2}) d x = 2 \int_{- \infty}^{+ \infty} (2 u + 1) Φ^{'} (u) d u = 2 (2 \times 0 + 1) = 2.

所以，

EX = 0 + 0.35 \times 2 = 0.7.

8

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ， $Y$ 的概率分布为 $P {Y = 0} = P {Y = 1} = \frac{1}{2}$ ，记 $F_{Z} (z)$ 为随机变量 $Z = X Y$ 的分布函数，则函数 $F_{Z} (z)$ 的间断点个数为

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

正确答案：B

F_{Z} (z) = P (X Y \leq z) = P (X Y \leq z ∣ Y = 0) P (Y = 0) + P (X Y \leq z ∣ Y = 1) P (Y = 1) = \frac{1}{2} [P (X \cdot 0 \leq z ∣ Y = 0) + P (X \leq z ∣ Y = 1)] = \frac{1}{2} [P (0 \leq z) + P (X \leq z)]

由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，因此：

(1) 若 $z < 0$ ，则 $F_{Z} (z) = \frac{1}{2} Φ (z)$ ；

(2) 若 $z \geq 0$ ，则 $F_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 + Φ (z))$ 。

在 $z = 0$ 处，左极限为 $\frac{1}{2} Φ (0)$ ，右极限为 $\frac{1}{2} (1 + Φ (0))$ 。

由于 $Φ (0) = \frac{1}{2}$ ，左右极限不相等，故 $z = 0$ 为间断点，因此选择 (B)。

填空题

9

（填空题）设函数 $f (u, v)$ 具有连续偏导数， $z = f (x, x y)$ ，则 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =$

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

10

（填空题）若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ 的通解为 $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}$ ，则非齐次方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = x$ 满足条件 $y (0) = 2$ ， $y^{'} (0) = 0$ 的解为 $y =$

高等数学常微分方程常系数非齐次线性微分方程

11

（填空题）已知曲线 $L : y = x^{2} (0 \leq x \leq 2)$ ，则 $\int_{L} x d s =$ ______

高等数学一元函数积分学定积分的应用

12

（填空题）设 $Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1}$ ，则 $∭_{Ω} z^{2} d x d y d z =$

高等数学多元函数积分学重积分的计算

13

（填空题）若 $3$ 维列向量 $α$ 、 $β$ 满足 $α^{T} β = 2$ ，其中 $α^{T}$ 为 $α$ 的转置，则矩阵 $β α^{T}$ 的非零特征值为。

线性代数矩阵矩阵的特征值与特征向量

14

（填空题）设 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， $\dots$ ， $X_{m}$ 为来自二项分布总体 $B (n, p)$ 的简单随机样本， $\overset{ˉ}{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差，若 $\overset{ˉ}{X} + k S^{2}$ 为 $n p^{2}$ 的无偏估计量，则 $k =$

概率论与数理统计参数估计与假设检验矩估计和最大似然估计

解答题

15

（本题满分 9 分）

求二元函数 $f (x, y) = x^{2} (2 + y^{2}) + y ln y$ 的极值。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

16

（本题满分 $9$ 分）

设 $a_{n}$ 为曲线 $y = x^{n}$ 与 $y = x^{n + 1}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）所围成区域的面积，记 $S_{1} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ， $S_{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}$ ，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值。

高等数学一元函数积分学定积分的应用

17

（本题满分 11 分）

曲面 $S_{1}$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 绕 $x$ 轴旋转而成，圆锥面 $S_{2}$ 是过点 $(4, 0)$ 且与椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成。