2015 年真题

选择题

1

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，其二阶导数 $f^{''} (x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 的拐点个数为

正确答案：C

对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在。

从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 $x = 0$ 。

对于这三个点，左边二阶导数等于零的点的两侧，二阶导数都是正的，因此对应的点不是拐点。

而另外两个点的两侧，二阶导数是异号的，对应的点才是拐点。

所以应该选 (C)。

2

设 $y = \frac{1}{2} e^{2 x} + (x - \frac{1}{3}) e^{x}$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}$ 的一个特解，则

正确答案：A

线性微分方程的特征方程为 $r^{2} + a r + b = 0$ ，由特解可知 $r_{1} = 2$ 一定是特征方程的一个实根。

如果 $r_{2} = 1$ 不是特征方程的实根，则对应于 $f (x) = c e^{x}$ 的特解形式应为 $Q (x) e^{x}$ ，其中 $Q (x)$ 应是一个零次多项式，即常数，这与条件不符。

因此， $r_{2} = 1$ 也是特征方程的另一个实根。由韦达定理可得：

a = - (2 + 1) = - 3, b = 2 \times 1 = 2.

同时， $y^{*} = x e^{x}$ 是原方程的一个解，代入可得 $c = - 1$ ，应选 (A)。

3

若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则 $x = 3$ 与 $x = 3$ 对于幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 1)^{n}$ 的

正确答案：B

设幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，表明幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x = 1$ 处条件收敛，即该幂级数的收敛半径为 $1$ ，故有：

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 1.

因此，对于幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 1)^{n}$ ，其收敛半径为：

R = n \to \infty lim \frac{n a _{n}}{( n + 1 ) a _{n + 1}} = 1,

收敛区间为 $(0, 2)$ 。

显然， $x = 3$ 位于收敛区间内，为收敛点；而 $x = 3$ 不在收敛区间内，为发散点。

因此，应选 (B)。

4

设 $D$ 是第一象限中由曲线 $2 x y = 1$ ， $4 x y = 1$ 与直线 $y = x$ ， $y = 3 x$ 所围成的平面区域，函数 $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续，则

\iint_{D} f (x, y) d x d y

化为极坐标下的二次积分是

正确答案：A

积分区域如图所示，化成极坐标方程：

曲线 $2 x y = 1$ 化为 $r^{2} sin 2 θ = 1$ ，即 $r = \frac{1}{2 s i n 2 θ}$ 。

曲线 $4 x y = 1$ 化为 $r^{2} sin 2 θ = \frac{1}{2}$ ，即 $r = \frac{1}{s i n 2 θ}$ 。

直线 $y = x$ 对应 $θ = \frac{π}{4}$ ，直线 $y = 3 x$ 对应 $θ = \frac{π}{3}$ 。

因此，积分表达式为：

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 s i n 2 θ}}^{\frac{1}{s i n 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r

应该选 (A)。

5

设矩阵 $A = 111124 1 a a^{2}$ ， $b = 1 d d^{2}$ ，若集合 $Ω = {1, 2}$ ，则线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解的充分必要条件是

正确答案：D

对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组有无穷多解的充分必要条件是 $r (A) = r (A, b) < 3$ ，即

(a - 1) (a - 2) = 0 且 (d - 1) (d - 2) = 0

同时成立。因此，应选 (D)。

6

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，其中 $P = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ ，若 $Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在 $x = Q y$ 下的标准形为

正确答案：A

设 $Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2}) = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) 100 00 - 1 010 = P 100 00 - 1 010$ ，则 $Q^{T} = 100001 0 - 1 0 P^{T}$ 。

已知 $f = x^{T} A x = y^{T} P^{T} A P y = y^{T} 21 - 1 y$ ，因此：

Q^{T} A Q = 100001 0 - 1 0 P^{T} A P 100 00 - 1 010 = 100001 0 - 1 0 21 - 1 100 00 - 1 010 = 2 - 1 1 .

故选择 (A)。

7

若 $A$ ， $B$ 为任意两个随机事件，则

正确答案：C

因为 $P (A) \geq P (A B)$ 且 $P (B) \geq P (A B)$ ，所以 $2 P (A B) \leq P (A) + P (B)$ ，即 $P (A B) \leq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2}$ 。

快速选 (C)。

8

设随机变量 $X$ 、 $Y$ 不相关，且 $EX = 2$ ， $E Y = 1$ ， $D X = 3$ ，则 $E (X (X + Y - 2)) = ()$ 。

正确答案：D

首先，计算期望 $E (X (X + Y - 2))$ ：

E (X (X + Y - 2)) = E (X^{2}) + E (X Y) - 2 E (X)

接着，利用方差与期望的关系 $D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ ，代入 $E (X^{2}) = D (X) + (E (X))^{2}$ ：

E (X (X + Y - 2)) = D (X) + (E (X))^{2} + E (X Y) - 2 E (X)

由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，有 $E (X Y) = E (X) E (Y)$ ，代入已知数值 $D (X) = 3$ ， $E (X) = 2$ ， $E (Y) = 1$ ：

E (X (X + Y - 2)) = 3 + 2^{2} + 2 \times 1 - 2 \times 2

计算得：

3 + 4 + 2 - 4 = 5

因此，答案为 $5$ ，应选择 (D)。

填空题

9

（填空题） $x \to 0 lim \frac{l n ( c o s x )}{x ^{2}} =$ ______

10

（填空题） $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\frac{s i n x}{1 + c o s x} + ∣ x ∣) d x =$ ______.

11

（填空题）若函数 $z = z (x, y)$ 是由方程 $e^{z} + x yz + x + cos x = 2$ 确定，则 $d z ∣_{(0, 1)} =$

12

（填空题）设 $Ω$ 是由平面 $x + y + z = 1$ 和三个坐标面围成的空间区域，则

∭_{Ω} (x + 2 y + 3 z) d x d y d z =

13

（填空题） $n$ 阶行列式 $2 - 1 ⋮ 00 02 ⋱ 00 \dots \dots ⋱ \dots \dots 00 ⋮ 2 - 1 22 ⋮ 22 =$

14

（填空题）设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N (1, 0; 1, 1; 0)$ ，则 $P {X Y - Y < 0} =$

解答题

15

（本题满分 10 分）设函数 $f (x) = x + a ln (1 + x) + b x sin x$ ， $g (x) = k x^{3}$ 在 $x \to 0$ 时为等价无穷小，求常数 $a, b, k$ 的取值。

16

（本题满分 10 分）设函数 $y = f (x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_{0} \in I$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线与直线 $x = x_{0}$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4，且 $f (0) = 2$ ，求 $f (x)$ 的表达式。

17

（本题满分 10 分）设函数 $f (x, y) = x + y + x y$ ，曲线 $C : x^{2} + y^{2} + x y = 3$ ，求 $f (x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数。

18

（本题满分 10 分）

(1) 设函数 $u (x)$ ， $v (x)$ 都可导，利用导数定义证明 $(u (x) v (x))^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ ；

(2) 设函数 $u_{1} (x)$ ， $u_{2} (x)$ ， $\dots$ ， $u_{n} (x)$ 都可导， $f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)$ ，写出 $f (x)$ 的求导公式。

19

（本题满分10分）已知曲线 $L$ 的方程为

{z = 2 - x^{2} - y^{2} z = x

起点为 $A (0, 2, 0)$ ，终点为 $B (0, - 2, 0)$ ，计算曲线积分

\int_{L} (y + z) d x + (z^{2} - x^{2} + y) d y + (x^{2} + y^{2}) d z

20

（本题满分 11 分）设向量组 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 为向量空间 $R^{3}$ 的一组基， $β_{1} = 2 α_{1} + 2 k α_{3}$ ， $β_{2} = 2 α_{2}$ ， $β_{3} = α_{1} + (k + 1) α_{3}$ 。

(1) 证明：向量组 $β_{1}$ ， $β_{2}$ ， $β_{3}$ 为向量空间 $R^{3}$ 的一组基；

(2) 当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $ξ$ ，使得 $ξ$ 在基 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 和基 $β_{1}$ ， $β_{2}$ ， $β_{3}$ 下的坐标相同，并求出所有的非零向量。

21

（本题满分 11 分）已知矩阵 $A = 0 - 1 1 23 - 2 - 3 - 3 a$ 与 $B = 100 - 2 b 3 001$ 相似。

(1) 求 $a$ ， $b$ 的值；

(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。

22

（本题满分 11 分）设 $f (x) = {2^{- x} ln 2, 0, x > 0 x \leq 0$ ，对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。求：

(1) 求 $Y$ 的概率分布；

(2) 求数学期望 $E (Y)$ 。

23

（本题满分 11 分）设总体 $X$ 的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - θ}, 0, θ \leq x \leq 1 其他

其中 $θ$ 为未知参数， $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是来自总体的简单样本。

(1) 求参数 $θ$ 的矩估计量；

(2) 求参数 $θ$ 的最大似然估计量。