2019 年真题

【答案】 $\frac{y}{\cos x}+\frac{x}{\cos y}$

【解析】

$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(\sin y-\sin x)(-\cos x)+y$ $\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }(\sin y-\sin x)\cos y+x$

故

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\cos y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=-f^{\prime }(\sin y-\sin x)+\frac{y}{\cos x}+f^{\prime }(\sin y-\sin x)+\frac{x}{\cos y}\\ & =\frac{y}{\cos x}+\frac{x}{\cos y}\end{array}$

【答案】 $y=\sqrt{3e^x-2}$

【解析】

代入 $y(0)=1$ 得 $C=\ln 3$ ，于是：

因此：

【答案】 $\cos \sqrt{x}$

【解析】 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}(\sqrt{x}{)}^{2n}=\cos \sqrt{x}$

【答案】 $\frac{32}{3}$

【解析】

【答案】 $x=k(1,-2,1{)}^T$ , $k\in R$

【解析】

${\alpha }_1$ ， ${\alpha }_2$ 无关， $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$

$\therefore r(A)\ge 2$

$\because {\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$

$\therefore r(A)=2$ 故 $Ax=0$ 的基础解系中有 $n-r(A)=3-2=1$ 个解向量。

$\because {\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$

$\therefore (1,-2,1{)}^T$ 为 $Ax=0$ 的解，作为基础解系。 $\therefore$ 通解为 $x=k(1,-2,1{)}^T$ ， $k\in R$

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_0^2\frac{x^2}{2}dx={\frac{1}{6}{x}^3|}_0^2=\frac{4}{3}$

$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ {\int }_0^x\frac{t}{2}dt,& 0\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& P(F(X)>E(X)-1)=P\left(F(X)>\frac{1}{3}\right)\\ & =P\left(\frac{x^2}{4}>\frac{1}{3}\right)=P\left(x>\frac{2}{\sqrt{3}}\right)={\int }_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^2\frac{x}{2}dx=\frac{2}{3}\end{array}$

【答案】
(Ⅰ) $y=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$
(Ⅱ) 曲线 $y=y(x)$ 的凸区间为 $(-\infty ,-\sqrt{3})$ 及 $(0,\sqrt{3})$ ，凹区间为 $(-\sqrt{3},0)$ 及 $(\sqrt{3},+\infty )$ ，拐点为 $(-\sqrt{3},-\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{3}{2}})$ ， $(0,0)$ 及 $(\sqrt{3},\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{3}{2}})$ 。

【解析】

(Ⅰ)

$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ 的通解为 $y=\left(\int {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{\int x\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right){\mathrm{e}}^{-\int x\mathrm{d}x}=(x+C){\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ ，由 $y(0)=0$ 得 $C=0$ ，故 $y=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ 。

(Ⅱ)

$y^{\prime }=(1-x^2){\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ ，

$y^{\prime \prime }=(x^3-3x){\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}){\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ ，

令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=-\sqrt{3}$ ， $x=0$ ， $x=\sqrt{3}$ 。

• 当 $x\in (-\infty ,-\sqrt{3})$ 时， $y^{\prime \prime }<0$ ；
• 当 $x\in (-\sqrt{3},0)$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ ；
• 当 $x\in (0,\sqrt{3})$ 时， $y^{\prime \prime }<0$ ；
• 当 $x\in (\sqrt{3},+\infty )$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ 。

故 $y=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ 的凸区间为 $(-\infty ,-\sqrt{3})$ 及 $(0,\sqrt{3})$ ；凹区间为 $(-\sqrt{3},0)$ 及 $(\sqrt{3},+\infty )$ 。

曲线 $y=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ 的拐点为 $(-\sqrt{3},-\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{3}{2}})$ ， $(0,0)$ 及 $(\sqrt{3},\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{3}{2}})$ 。

【答案】
（Ⅰ） $a=-1$ ， $b=-1$
（Ⅱ） $\frac{13}{3}\pi$

【解析】
（Ⅰ）
$\text{grad}z=\{2ax,2by\}$ ， $\text{grad}z{|}_{(3,4)}=\{6a,8b\}$ ，
因为梯度的方向即为方向导数最大的方向，所以有 $\frac{6a}{-3}=\frac{8b}{-4}$ ，即 $a=b$ ，
再由 $\sqrt{36a^2+64b^2}=10$ 得 $a=b=-1$ 。

（Ⅱ）
曲面

其中

则曲面 $\Sigma$ 的面积为

【答案】 $\frac{1}{2}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\pi }-1}$

【解析】

所求的面积为

【答案】
(1) 见解析
(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=1$

【解析】
（Ⅰ）
因为当 $0\le x\le 1$ 时，

所以

即 $a_{n+1}<a_n$ ，故 $\{a_n\}$ 单调递减。

令 $x=\sin t$ ，则

于是

类似地，

即

利用递推关系 $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ ，得 $I_{n-2}=\frac{n}{n-1}{I}_n$ ，
于是

因此

（Ⅱ）
因为 $\{a_n\}$ 单调递减，

所以

由夹逼定理得

【答案】 $\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$

【解析】 设 $\Omega$ 的形心坐标为 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ ，由对称性得 $\bar{x}=0$ ，且

体积为

计算 ${\iiint }_{\Omega }ydxdydz$ ：

由代换 $y=u+z$ ，得

因此

计算 ${\iiint }_{\Omega }zdxdydz$ ：

故 $\Omega$ 的形心坐标为

【答案】
（Ⅰ） $a=3$ , $b=2$ , $c=-2$
（Ⅱ）过渡矩阵 Q=​1−21​21​​101​010​​

【解析】
（Ⅰ）【解】 由题意得 $b{\alpha }_1+c{\alpha }_2+{\alpha }_3=\beta$ ，即

解得 $a=3$ ， $b=2$ ， $c=-2$ 。

（Ⅱ）【证明】 因为

所以 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 线性无关，故 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个基。

设由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 到 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的过渡矩阵为 $Q$ ，即

于是

由

得