2008 年真题

选择题

1

设函数 $f(x) = x^{2}(x-1)(x-2)$ ，求 $f'(x)$ 的零点个数为

正确答案：D

命题目的
考查求导的运算能力。

详细解答
函数 $f(x) = 2x(x-1)(x-2) + x^{2}(x-2) + x^{2}(x-1)$ 。
整理得 $f(x) = 4x^{3} - 9x^{2} + 4x$ 。
求导得 $f'(x) = 12x^{2} - 18x + 4$ 。
令 $f'(x) = 0$ ，即解方程 $12x^{2} - 18x + 4 = 0$ 。
判别式 $\Delta = (-18)^{2} - 4 \times 12 \times 4 = 324 - 192 = 132 > 0$ ，
故该方程有两个不同实根，因此 $f'(x)$ 的零点个数为 2。

易错辨析
对于二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ ，当 $b^{2} - 4ac > 0$ 时，方程有两个不同实根。

延伸拓展
n 次方程在复数范围内有 n 个根（包括重根）。

2

如图，曲线段的方程为 $y = f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\int_{0}^{a} x f'(x) \, dx$ 等于（）

高等数学一元函数积分学定积分的应用

正确答案：C

命题目的
考查定积分的分部积分法及定积分的几何意义。

详细解答

\int_{0}^{a} x f'(x) \, dx = \int_{0}^{a} x \, df(x) = a f(a) - \int_{0}^{a} f(x) \, dx

其中 $a f(a)$ 表示矩形面积， $\int_{0}^{a} f(x) \, dx$ 表示曲边梯形的面积，因此 $\int_{0}^{a} x f'(x) \, dx$ 表示曲边三角形的面积。

易错辨析
若 $f(x) \leq 0$ ，则曲边梯形的面积为：

-\int_{0}^{a} f(x) \, dx

延伸拓展
必须熟练掌握定积分的分部积分法及变量替换法。

3

在下列微分方程中，以 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2x + C_{3} \sin 2x$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 为任意常数）为通解的是（　）

高等数学常微分方程常系数齐次线性微分方程

正确答案：D

【命题目的】
考查高阶齐次常系数微分方程的解法。

【详细解答】
由 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2x + C_{3} \sin 2x$ 可知其特征根为

\lambda_{1} = 1, \quad \lambda_{2,3} = \pm 2i

特征方程为：

(\lambda - 1)(\lambda + 2i)(\lambda - 2i) = (\lambda - 1)(\lambda^{2} + 4)

即

\lambda^{3} - \lambda^{2} + 4\lambda - 4 = 0

所以所求微分方程为：

y^{\prime\prime\prime} - y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} - 4y = 0

故选 (D)。

【易错辨析】
$C_{2} \cos 2x + C_{3} \sin 2x$ 对应的特征方程为

(\lambda + 2i)(\lambda - 2i) = \lambda^{2} + 4

【延伸拓展】
高阶齐次常系数微分方程的解法见同济大学《高等数学》第五版下册。

4

设函数 $f(x) = \frac{\ln |x|}{|x - 1|} \sin x$ ，则 $f(x)$ 有（

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：A

命题目的
考查函数间断点及其类型。

详细解答
函数 $f(x)$ 的间断点为 $x = 0$ 和 $x = 1$ 。
计算极限得：

\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 0

因此 $x = 0$ 是可去间断点。
又：

\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \sin 1, \quad \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\sin 1

左右极限存在但不相等，因此 $x = 1$ 是跳跃间断点。
故应选 (A)。

延伸拓展
在点 $x$ 处可导一定连续，但连续不一定可导。

5

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内单调有界， $\{x_{n}\}$ 为数列，下列命题正确的是（　　）

高等数学函数、极限、连续数列敛散性的判定

正确答案：B

命题目的
考查定理：单调有界数列一定有极限。

详细解答
若 $\boldsymbol{x_n}$ 单调，则由 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内单调有界，可知 $f(x_n)$ 单调有界，因此 $\boldsymbol{f(x_n)}$ 收敛，故应选 (B)。

延伸拓展
“单调有界数列一定有极限”具体表述为：

单增有上界数列一定有极限；
单减有下界数列一定有极限。

6

设函数 $F(u, v) = \iint_{D_{uv}} \frac{f(x^{2} + y^{2})}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \, dx \, dy$ ，其中区域 $D_{uv}$ 为如图中阴影部分，则 $\frac{\partial F}{\partial u} = ( \quad )$ 。

高等数学多元函数积分学重积分的计算

正确答案：A

[命题目的]考查二重积分的极坐标变换及求偏导数和对定积分上限变量求导。

[详细解答]用极坐标得

F(u, v)=\int_{0}^{v} d\theta \int_{1}^{u} \frac{f(r^{2})}{r} \cdot r \, dr = v \int_{1}^{u} f(r^{2}) \, dr,

因此

\frac{\partial F}{\partial u} = v f(u^{2}).

7

设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $A^3 = O$ ，则（）

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

正确答案：C

命题目的
考查逆矩阵的概念。

详细解答
方法一
由已知 $A^{3} = 0$ ，可得

(E - A)(E + A + A^{2}) = E - A^{3} = E,

(E + A)(E - A + A^{2}) = E + A^{3} = E.

因此 $E - A$ 与 $E + A$ 均可逆。

方法二
设 $A$ 的特征值为 $\lambda$ ，由 $A^{3} = 0$ 可得 $\lambda^{3} = 0$ ，从而 $\lambda = 0$ 。
于是 $E - A$ 与 $E + A$ 的特征值均为 1，因此

|E - A| = 1, \quad |E + A| = 1,

故 $E - A$ 与 $E + A$ 均可逆。

易错辨析
由 $A^{3} = 0$ 不能推出 $A = 0$ 。

延伸拓展

矩阵 $A$ 可逆的充要条件：

存在矩阵 $B$ 满足 $AB = BA = E$ ；
存在矩阵 $B$ 满足 $AB = E$ 或 $BA = E$ ；
$|A| \neq 0$ ；
$A$ 的所有特征值不等于 0；
$r(A) = n$ 。

设 $A$ 的特征值为 $\lambda$ ，则多项式 $P_{n}(A)$ 的特征值为 $P_{n}(\lambda)$ 。

8

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为（）

线性代数二次型

正确答案：D

【命题目的】考查两个矩阵合同的概念。

【详细解答】

方法一：计算特征值。

|\lambda E - A| = \left| \begin{array}{cc} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 1 \end{array} \right| = (\lambda - 1)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda + 1)(\lambda - 3) = 0

因此 $\lambda_1 = -1$ ， $\lambda_2 = 3$ 。

记 $D = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ ，则

|\lambda E - D| = \left| \begin{array}{cc} \lambda - 1 & 2 \\ 2 & \lambda - 1 \end{array} \right| = (\lambda - 1)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda + 1)(\lambda - 3) = 0

因此 $\lambda_1 = -1$ ， $\lambda_2 = 3$ 。

方法二：利用行列式与特征值的关系。

|A| = \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = -3 = \lambda_1 \lambda_2

说明 $A$ 的特征值一正一负。

对于 $D$ ：

|D| = \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right| = -3

说明 $D$ 的特征值也为一正一负。 $A$ 与 $D$ 的正负惯性指数相同，因此应选 (D)。

【易错辨析】方法二仅适用于本题（读者可自行思考原因）。

【延伸拓展】两个矩阵的等价、相似、合同概念存在不同之处。

填空题

9

（填空题）已知函数 $f(x)$ 连续，且

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos \left[ x f(x) \right]}{\left( e^{x^{2}} - 1 \right) f(x)} = 1,

则 $f(0) =$

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

【答案】 2

【解析】 本题旨在考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式的极限计算。

已知极限

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2} f^{2}(x)}{x^{2} f(x)} = 1

化简可得

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} f^{2}(x)}{f(x)} = 1

由于 $f(x)$ 在 $x \to 0$ 时非零，可约去 $f(x)$ ，得

\lim_{x \to 0} \frac{1}{2} f(x) = 1

因此

\frac{1}{2} f(0) = 1

解得

f(0) = 2

易错辨析：在极限运算中，对于加减项不能随意使用等价无穷小代换，否则可能导致结果错误。

10

（填空题）微分方程 $\left(y + x^{2} e^{-x}\right) dx - x \, dy = 0$ 的通解是 $y =$

高等数学常微分方程一阶非齐次线性微分方程

【答案】 $y = -x e^{-x} + C x$

【解析】 ## 题目（填空题）微分方程 $\left(y + x^{2} e^{-x}\right) dx - x \, dy = 0$ 的通解是 $y =$

解析

命题目的考查求解一阶线性微分方程。

详细解答将方程整理为
$y' - \frac{y}{x} = x e^{-x}$ ，
其中 $P = -\frac{1}{x}$ ， $Q = x e^{-x}$ 。

利用一阶线性微分方程通解公式：

y = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} \left( \int x e^{-x} e^{\int \frac{1}{x} \, dx} \, dx + C \right) = x \left( \int e^{-x} \, dx + C \right) = -x e^{-x} + C x

延伸拓展：

也可用常数变易法求解一阶线性微分方程；
一阶线性微分方程通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解。

11

（填空题）曲线 $\sin (x y) + \ln (y - x) = x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程是

高等数学一元函数微分学导数的几何意义

【答案】 $y = x + 1$

【解析】 命题目的：考查隐函数求导及导数的几何意义。

详细解答

方法一：设

F(x, y) = \sin(x y) + \ln(y - x) - x,

计算

k = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{y \cos(x y) + \frac{-1}{y - x} - 1}{x \cos(x y) + \frac{1}{y - x}}.

代入 $x = 0$ ， $y = 1$ ，得 $k = 1$ ，切线方程为 $y = x + 1$ 。

方法二：方程两边对 $x$ 求导，

\cos(x y) \cdot (y + x y') + \frac{y' - 1}{y - x} = 1,

令 $x = 0$ ， $y = 1$ ，得 $k = y'(0) = 1$ ，切线方程为 $y = x + 1$ 。

易错辨析： $\sin(x y)$ 对 $x$ 求导时， $y$ 是中间变量。计算时不必求出 $y'$ 的表达式，直接代入 $x = 0$ ， $y = 1$ 即可得出 $k = 1$ 。

延伸拓展：只要不对自变量 $x$ 求导，都要按照复合函数求导。

12

（填空题）曲线 $y = (x - 5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ______

高等数学一元函数微分学曲线的凹凸性、拐点及渐近线

【答案】 $(-1,-6)$

【解析】 命题目的考查拐点的概念。

详细解答计算 $f'(x) = x^{\frac{2}{3}} + (x-5) \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{5}{3}(x-2) x^{-\frac{1}{3}}$ ，再求二阶导数 $f''(x) = \frac{10}{9} x^{-\frac{4}{3}}(x+1)$ ，令其为零得 $x = -1$ 。

当 $x = -1$ 时， $f''(x)$ 左右两边符号改变，故拐点坐标为 $(-1,-6)$ 。

当 $x = 0$ 时，二阶导数不存在，且 $f''(x)$ 左右两边符号不变，故 $(0,0)$ 不是拐点。

易错辨析

如果在 $(0,0)$ 两侧 $f''(x)$ 符号改变，则 $(0,0)$ 也是拐点；
拐点应表示为 $(x_0, f(x_0))$ 。

延伸拓展

如果在 $(x_0, f(x_0))$ 两侧 $f''(x)$ 符号改变，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。

13

（填空题）设 $z = \left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} =$

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2} (\ln 2 - 1)$

【解析】 命题目的考查多元函数的复合函数求导。

详细解答

方法一：令 $u = \frac{y}{x}$ ， $v = \frac{x}{y}$ ，则 $z = u^{v}$ 。取对数后对 $x$ 求导，可得：

\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y} \ln \frac{y}{x} - \frac{1}{y}

代入点 $(1,2)$ 得：

\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\ln 2 - 1)

方法二：直接取对数后对 $x$ 求导，代入 $(1,2, \sqrt{2})$ 得：

\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\ln 2 - 1)

易错辨析：方法二比方法一运算量小，不易出错。

延伸拓展：本题也可求全微分：

dz = \frac{\partial z}{\partial x} \, dx + \frac{\partial z}{\partial y} \, dy

14

（填空题）设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2$ 、 $3$ 、 $\lambda$ 。若行列式 $|2A| = -48$ ，则 $\lambda =$

线性代数矩阵的特征值与特征向量

【答案】 $\lambda = -1$

【解析】 命题目的考查 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ 与 $|kA| = k^n |A|$ 。

详细解答如下：由 $|2A| = 2^3 |A| = -48$ ，得 $|A| = -6$ 。又因为 $|A| = 2 \times 3 \times \lambda = -6$ ，故 $\lambda = -1$ 。

易错辨析：常见错误是误以为 $|2A| = 2|A| = -48$ ，正确应为 $|2A| = 2^3 |A|$ 。

延伸拓展：假设 $A$ 的特征值为 $\lambda$ ，则 $A$ 的多项式 $P_n(A)$ 的特征值为 $P_n(\lambda)$ 。

解答题

15

（本题满分 10 分）求极限

\lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin (\sin x)}{x^{3}} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos (\sin x) \cdot \cos x}{3x^{2}} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x [1 - \cos (\sin x)]}{3x^{2}} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} x \cdot \cos x}{3x^{2}} \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}

[命题目的] 考查 $\frac{0}{0}$ 型极限的计算。

[思路点拨] 先使用等价无穷小代换，然后使用洛必达法则。

[易错辨析] 对于加、减项不能使用等价无穷小代换。

[延伸拓展] “ $\frac{0}{0}$ ”、“ $1^{\infty}$ ”等其他不定型的极限的求法。

16

（本题满分 10 分）设函数 $y = y(x)$ 由参数方程

\begin{cases} x = x(t), \\ y = \int_{0}^{t^{2}} \ln (1 + u) \, du \end{cases}

确定，其中 $x(t)$ 满足微分方程

\frac{dx}{dt} - 2 t e^{-x} = 0

且 $x|_{t=0} = 0$ ，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。

高等数学常微分方程可分离变量的微分方程与齐次方程

【答案】 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = (1 + t^{2})\left[\ln(1 + t^{2}) + 1\right] \]

【解析】
[详细解答]

已知 $e^{x} \, dx = 2t \, dt$ ，积分得 $e^{x} = t^{2} + C$ 。由 $x|_{t=0} = 0$ 得 $C = 1$ ，故 $x = \ln(1 + t^{2})$ 。

\frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t \ln(1 + t^{2})}{\frac{2t}{1 + t^{2}}} = (1 + t^{2}) \ln(1 + t^{2})

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\left[(1 + t^{2}) \ln(1 + t^{2})\right]'}{x'_t} = \frac{2t \ln(1 + t^{2}) + 2t}{\frac{2t}{1 + t^{2}}} = (1 + t^{2})\left[\ln(1 + t^{2}) + 1\right]

[命题目的]
考查求微分方程特解和参数方程求导。

[思路点拨]

对 $x$ 和 $t$ ，为可分离变量方程；
求导过程中， $t$ 是中间变量。

[延伸拓展]
可用相同方法求三阶导数。

17

（本题满分 10 分）计算

\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \, dx

高等数学一元函数积分学定积分的计算

【答案】 $\frac{1}{4} + \frac{\pi^{2}}{16}$

【解析】
命题目的
考查定积分的变量替换。

思路点拨
对含 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 类型的积分，令 $x = a\sin t$ 。

详细解答
令 $x = \sin t$ ，则

\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{x^{2}\arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2}t\cdot t}{\cos t}\cos t\,dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^{2}t \, dt \\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\,dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cos 2t\,dt \\ &= \frac{1}{4} + \frac{\pi^{2}}{16} \end{align*}

易错辨析
定积分变量替换一定要改变上下限。

延伸拓展
对含 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 类型的积分，令 $x = a\tan t$ 。

18

（本题满分 10 分）
计算

\iint_{D} \max \{x y, 1\} \, d x \, d y,

其中

D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, \, 0 \leq y \leq 2\}.

高等数学多元函数积分学重积分的计算

【答案】 $\frac{19}{4} + \ln 2$

【解析】

\begin{aligned} \iint_{D} \max \{x y, 1\} \, dx \, dy &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} dx \int_{0}^{2} 1 \, dy + \int_{\frac{1}{2}}^{2} dx \int_{0}^{\frac{1}{x}} 1 \, dy + \int_{\frac{1}{2}}^{2} dx \int_{\frac{1}{x}}^{2} x y \, dy \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{x} \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{2} x \left[ \frac{y^{2}}{2} \Big|_{\frac{1}{x}}^{2} \right] dx \\ &= 1 + \left[ \ln x \right]_{\frac{1}{2}}^{2} + \int_{\frac{1}{2}}^{2} x \left( 2 - \frac{1}{2x^{2}} \right) dx \\ &= 1 + \left( \ln 2 - \ln \frac{1}{2} \right) + \int_{\frac{1}{2}}^{2} \left( 2x - \frac{1}{2x} \right) dx \\ &= 1 + 2 \ln 2 + \left[ x^{2} - \frac{1}{2} \ln x \right]_{\frac{1}{2}}^{2} \\ &= 1 + 2 \ln 2 + \left( 4 - \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{19}{4} + \ln 2 . \end{aligned}

[命题目的] 考查分段函数的二重积分。

[思路点拨] 不同区域中对不同的表达式积分。

[易错辨析] 任何平面曲线 $f(x, y)=0$ 将平面分成 $f(x, y)>0$ 和 $f(x, y)<0$ 两部分，做题时要找出这两部分的正确位置。

[延伸拓展] 与本题类似可计算以下积分：

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \max \{x, y\} e^{-(x^{2}+y^{2})} \, dx \, dy

（答案为 $-\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$ ）。

19

（本题满分 10 分）设 $f(x)$ 是区间 $[0, +\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f(0) = 1$ 。对任意的 $t \in [0, +\infty)$ ，直线 $x = 0$ ， $x = t$ ，曲线 $y = f(x)$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $f(x)$ 的表达式。

高等数学一元函数积分学定积分的应用

【答案】 $f(x) = \cosh x$

【解析】 ## 解析旋转体的体积公式为：

V(t) = \pi \int_{0}^{t} [f(x)]^{2} \, dx

旋转体的侧面积公式为：

S(t) = 2\pi \int_{0}^{t} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx

由题意可知 $S(t) = 2V(t)$ ，即：

2\pi \int_{0}^{t} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx = 2\pi \int_{0}^{t} [f(x)]^{2} \, dx

两边对 $t$ 求导，得到：

f(t) \sqrt{1 + [f'(t)]^{2}} = [f(t)]^{2}

化简得：

\sqrt{1 + [f'(t)]^{2}} = f(t)

两边平方得：

1 + [f'(t)]^{2} = [f(t)]^{2}

整理得：

[f'(t)]^{2} = [f(t)]^{2} - 1

由于 $f(x)$ 单调增加，因此：

f'(t) = \sqrt{[f(t)]^{2} - 1}

分离变量得：

\frac{df}{\sqrt{f^{2} - 1}} = dt

积分得：

\ln\left(f + \sqrt{f^{2} - 1}\right) = t + C

由初始条件 $f(0) = 1$ ，代入得 $C = 0$ ，因此：

\ln\left(f + \sqrt{f^{2} - 1}\right) = t

解得：

f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x

[命题目的] 考查旋转体侧面积、体积计算及微分方程的综合应用。

[思路点拨] 由 $\frac{S(t)}{V(t)} = 2$ 对上限变量求导得到微分方程。

20

（本题满分 11 分）

(I) 证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in [a, b]$ ，使得

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(\eta)(b - a)

(II) 若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\varphi(2) > \varphi(1)$ 及 $\varphi(2) > \int_{2}^{3} \varphi(x) \, dx$ ，则至少存在一点 $\xi \in (1, 3)$ ，使得

\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0

高等数学一元函数积分学变限积分

【答案】 见解析

【解析】 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则

m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b-a)

将不等式两边除以 $b-a$ ，得

m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M

根据闭区间上连续函数的介值定理，在 $[a, b]$ 上至少存在一点 $\eta$ ，使得

f(\eta) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

即

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(\eta)(b-a)

由积分中值定理，存在 $c \in (2,3)$ ，使得

\int_{2}^{3} \varphi(x) \, dx = \varphi(c)

由题设 $\varphi(2) > \varphi(1)$ 且 $\varphi(2) > \varphi(c)$ 。

对 $\varphi(x)$ 在区间 $[1,2]$ 和 $[2,c]$ 上分别应用拉格朗日中值定理，得

\varphi'(\xi_1) = \frac{\varphi(2) - \varphi(1)}{2 - 1} > 0, \quad \xi_1 \in (1,2)

\varphi'(\xi_2) = \frac{\varphi(c) - \varphi(2)}{c - 2} < 0, \quad \xi_2 \in (2,c)

再对 $\varphi'(x)$ 在区间 $[\xi_1, \xi_2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在

\xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (1,3)

使得

\varphi''(\xi) = \frac{\varphi'(\xi_2) - \varphi'(\xi_1)}{\xi_2 - \xi_1} < 0

[命题目的] 考查积分中值定理证明及导数应用。

[思路点拨] 第一问的结果是解答第二问的关键。

[易错辨析] 连续函数的介值定理中 $\eta$ 在闭区间 $[a, b]$ 上。

[延伸拓展] 改进后的积分中值定理中 $\xi$ 可在开区间 $(a, b)$ 上。

21

（本题满分 11 分）求函数 $u = x^2 + y^2 + z^2$ 在约束条件 $z = x^2 + y^2$ 和 $x + y + z = 4$ 下的最大值与最小值。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

【答案】 最大值 72，最小值 6

【解析】
命题目的
考查条件极值的拉格朗日乘数法。

思路点拨
求解具有两个约束条件的条件极值，方法与单一约束条件的情形相同。

详细解答
设

F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - z) + \lambda_2(x + y + z - 4)

得到方程组

\begin{cases} F_x = 0 \\ F_y = 0 \\ F_z = 0 \\ x^2 + y^2 - z = 0 \\ x + y + z - 4 = 0 \end{cases}

即

\begin{cases} 2x + 2x\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 2y + 2y\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 2z - \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ x^2 + y^2 - z = 0 \\ x + y + z - 4 = 0 \end{cases}

解得

\begin{cases} x = -2 \\ y = -2 \\ z = 8 \end{cases} \quad\text{}\quad \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 2 \end{cases}

于是

U_{\max} = (-2)^2 + (-2)^2 + 8^2 = 72

U_{\min} = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6

易错辨析
求解方程组是最容易出错的地方，计算时应仔细。

延伸拓展
可进一步探讨具有更多约束条件的最值问题。

22

（本题满分 11 分）设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ，其中

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2a & 1 & & & \\ a^2 & 2a & 1 & & \\ & a^2 & 2a & 1 & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & & a^2 & 2a & 1 \\ & & & & a^2 & 2a \end{pmatrix}_{n \times n}, \quad \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}

（I）证明行列式 $|\boldsymbol{A}| = (n+1) a^n$

（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$

（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

线性代数行列式

【答案】
(I) 见解析
(II) 当 $a \neq 0$ 时，方程组有唯一解，且 $x_1 = \frac{n}{(n+1) a}$
(III) 当 $a = 0$ 时，方程组有无穷多解，且通解为 $\boldsymbol{x} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
命题目的
计算 n 阶三对角线行列式、求解非齐次方程组。

思路点拨
非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的特解。

详细解答

(I)

|A| = \left|\begin{array}{ccccc} 2a & 1 & & & \\ a^2 & 2a & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & a^2 & 2a \end{array}\right| = (n+1) a^n.

另一种方法（递推法）：

D_n = |A| = \left|\begin{array}{cccccc} 2a & 1 & & & & \\ a^2 & 2a & 1 & & & \\ & a^2 & 2a & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & a^2 & 2a \end{array}\right| = 2a D_{n-1} - a^2 D_{n-2}.

直接计算得：
$D_1 = 2a = (1+1) a^1$ ，
$D_2 = 3a^2 = (2+1) a^2$ ，
假设 $D_{n-1} = n a^{n-1}$ ，则

\begin{align*} D_n &= 2a D_{n-1} - a^2 D_{n-2} \\ &= 2a \cdot n a^{n-1} - a^2 \cdot (n-1) a^{n-2} \\ &= (2n - n + 1) a^n \\ &= (n+1) a^n. \end{align*}

(II)
方程组有唯一解时，由 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{B}$ 知 $|A| \neq 0$ ，又 $|A| = (n+1) a^n$ ，故 $a \neq 0$ 。

记 $A = A_{n \times n}$ ，由克莱姆法则知，

x_1 = \frac{|A_1|}{|A|},

其中 $A_1$ 是将 $A$ 的第一列替换为 $\boldsymbol{b}$ 后的行列式。经计算可得

x_1 = \frac{n a^{n-1}}{(n+1) a^n} = \frac{n}{(n+1) a}.

(III)
方程组有无穷多解时， $|A| = 0$ ，即 $a = 0$ 。此时

(A \mid B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right).

对应的齐次方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系为

\boldsymbol{\xi} = (1, 0, 0, \ldots, 0)^T,

非齐次方程组的一个特解为

\boldsymbol{\eta} = (0, 1, 0, \ldots, 0)^T,

故通解为

\boldsymbol{x} = k (1, 0, 0, \ldots, 0)^T + (0, 1, 0, \ldots, 0)^T,

其中 $k$ 为任意常数。

易错辨析
用递推法计算 $|A|$ 的值比使用行列式性质计算，运算量要小得多。

23

（本题满分 11 分）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1$ 、 $1$ 的特征向量，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $A \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 。

(I) 证明 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关；

(II) 令 $P = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3})$ ，求 $P^{-1} A P$ 。

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

【答案】
(I) 见解析
(II) $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

【解析】
命题目的
考查向量的线性相关性。

思路点拨
使用线性相关和线性无关的定义进行证明。

详细解答

(I) 方法一
假设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关。因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是不同特征值的特征向量，所以线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表出。不妨设 $\boldsymbol{\alpha}_{3} = l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，其中 $l_{1}, l_{2}$ 不全为零（若 $l_{1}, l_{2}$ 同时为 0，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{0}$ ，由 $A \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可知 $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{0}$ ）。

由于 $A \boldsymbol{\alpha}_{1} = -\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $A \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，可得

A \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{2} + l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2},

又

\begin{gather*} A \boldsymbol{\alpha}_{3} = A(l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}) = -l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\ -l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{2} + l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + l_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\ 2l_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{0}. \end{gather*}

则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关，矛盾（因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关）。所以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关。

方法二
因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是不同特征值的特征向量，所以线性无关。假设

\begin{gather*} k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} + k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{0} \quad \text{(1)}, \\ k_{1} A \boldsymbol{\alpha}_{1} + k_{2} A \boldsymbol{\alpha}_{2} + k_{3} A \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{0}, \\ -k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} + k_{3}(\boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}) = \boldsymbol{0} \quad \text{(2)}. \end{gather*}

(1) − (2) 得

2k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} - k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{0},

所以 $k_{1} = k_{3} = 0$ ，代入 (1) 得 $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{0}$ ，故 $k_{2} = 0$ 。因此 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关。

(II)
记 $P = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3})$ ，则 $P$ 可逆。

\begin{align*} A(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) &= (A \boldsymbol{\alpha}_{1}, A \boldsymbol{\alpha}_{2}, A \boldsymbol{\alpha}_{3}) \\ &= (-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}) \\ &= (\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}) \end{align*}

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

即

AP = P \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

所以

P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

易辨析
以下说法是错误的：线性相关，则任一向量可用其他向量线性表示。
正确说法是： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性相关，则其中某一向量可用其他向量线性表示。