2008 年真题

【答案】 2

【解析】 本题旨在考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式的极限计算。

已知极限

化简可得

由于 $f(x)$ 在 $x\to 0$ 时非零，可约去 $f(x)$ ，得

因此

解得

易错辨析：在极限运算中，对于加减项不能随意使用等价无穷小代换，否则可能导致结果错误。

【答案】 $y=-x{e}^{-x}+Cx$

【解析】 ## 题目 （填空题）微分方程 $\left(y+x^2{e}^{-x}\right)dx-xdy=0$ 的通解是 $y=$

解析

命题目的考查求解一阶线性微分方程。

详细解答将方程整理为
$y^{\prime }-\frac{y}{x}=x{e}^{-x}$ ，
其中 $P=-\frac{1}{x}$ ， $Q=x{e}^{-x}$ 。

利用一阶线性微分方程通解公式：

延伸拓展：

1. 也可用常数变易法求解一阶线性微分方程；
2. 一阶线性微分方程通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解。

【答案】 $y=x+1$

【解析】 命题目的：考查隐函数求导及导数的几何意义。

详细解答

方法一：设

计算

代入 $x=0$ ， $y=1$ ，得 $k=1$ ，切线方程为 $y=x+1$ 。

方法二：方程两边对 $x$ 求导，

令 $x=0$ ， $y=1$ ，得 $k=y^{\prime }(0)=1$ ，切线方程为 $y=x+1$ 。

易错辨析： $\sin (xy)$ 对 $x$ 求导时， $y$ 是中间变量。计算时不必求出 $y^{\prime }$ 的表达式，直接代入 $x=0$ ， $y=1$ 即可得出 $k=1$ 。

延伸拓展：只要不对自变量 $x$ 求导，都要按照复合函数求导。

【答案】 $(-1,-6)$

【解析】 命题目的考查拐点的概念。

详细解答计算 $f^{\prime }(x)=x^{\frac{2}{3}}+(x-5)\cdot \frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=\frac{5}{3}(x-2)x^{-\frac{1}{3}}$ ，再求二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}(x+1)$ ，令其为零得 $x=-1$ 。

当 $x=-1$ 时， $f^{\prime \prime }(x)$ 左右两边符号改变，故拐点坐标为 $(-1,-6)$ 。

当 $x=0$ 时，二阶导数不存在，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 左右两边符号不变，故 $(0,0)$ 不是拐点。

易错辨析

1. 如果在 $(0,0)$ 两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 符号改变，则 $(0,0)$ 也是拐点；
2. 拐点应表示为 $(x_0,f(x_0))$ 。

延伸拓展

如果在 $(x_0,f(x_0))$ 两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 符号改变，则 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\ln 2-1)$

【解析】 命题目的考查多元函数的复合函数求导。

详细解答

方法一：令 $u=\frac{y}{x}$ ， $v=\frac{x}{y}$ ，则 $z=u^v$ 。取对数后对 $x$ 求导，可得：

代入点 $(1,2)$ 得：

方法二：直接取对数后对 $x$ 求导，代入 $(1,2,\sqrt{2})$ 得：

易错辨析：方法二比方法一运算量小，不易出错。

延伸拓展：本题也可求全微分：

【答案】 $\lambda =-1$

【解析】 命题目的考查 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ 与 $|kA|=k^n|A|$ 。

详细解答如下：由 $|2A|=2^3|A|=-48$ ，得 $|A|=-6$ 。又因为 $|A|=2\times 3\times \lambda =-6$ ，故 $\lambda =-1$ 。

易错辨析：常见错误是误以为 $|2A|=2|A|=-48$ ，正确应为 $|2A|=2^3|A|$ 。

延伸拓展：假设 $A$ 的特征值为 $\lambda$ ，则 $A$ 的多项式 $P_n(A)$ 的特征值为 $P_n(\lambda )$ 。

【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】

[命题目的] 考查 $\frac{0}{0}$ 型极限的计算。

[思路点拨] 先使用等价无穷小代换，然后使用洛必达法则。

[易错辨析] 对于加、减项不能使用等价无穷小代换。

[延伸拓展] “ $\frac{0}{0}$ ”、“ $1^{\infty }$ ”等其他不定型的极限的求法。

【答案】 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = (1 + t^{2})\left[\ln(1 + t^{2}) + 1\right] \]

【解析】
[详细解答]

已知 $e^{x}dx=2tdt$ ，积分得 $e^x=t^2+C$ 。由 $x{|}_{t=0}=0$ 得 $C=1$ ，故 $x=\ln (1+t^2)$ 。

[命题目的]
考查求微分方程特解和参数方程求导。

[思路点拨]

1. 对 $x$ 和 $t$ ，为可分离变量方程；
2. 求导过程中， $t$ 是中间变量。

[延伸拓展]
可用相同方法求三阶导数。

【答案】 $\frac{1}{4}+\frac{{\pi }^2}{16}$

【解析】
命题目的
考查定积分的变量替换。

思路点拨
对含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 类型的积分，令 $x=a\sin t$ 。

详细解答
令 $x=\sin t$ ，则

易错辨析
定积分变量替换一定要改变上下限。

延伸拓展
对含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 类型的积分，令 $x=a\tan t$ 。

【答案】 $\frac{19}{4}+\ln 2$

【解析】
曲线 $xy=1$ 将区域分成三个区域 $D_1,D_2,D_3$ ：

从而所求的积分

【答案】 $f(x)=\cosh x$

【解析】 ## 解析 旋转体的体积公式为：

旋转体的侧面积公式为：

由题意可知 $S(t)=2V(t)$ ，即：

两边对 $t$ 求导，得到：

化简得：

两边平方得：

整理得：

由于 $f(x)$ 单调增加，因此：

分离变量得：

积分得：

由初始条件 $f(0)=1$ ，代入得 $C=0$ ，因此：

解得：

[命题目的] 考查旋转体侧面积、体积计算及微分方程的综合应用。

[思路点拨] 由 $\frac{S(t)}{V(t)}=2$ 对上限变量求导得到微分方程。

【答案】 见解析

【解析】 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值及最小值，则

将不等式两边除以 $b-a$ ，得

根据闭区间上连续函数的介值定理，在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\eta$ ，使得

即

由积分中值定理，存在 $c\in (2,3)$ ，使得

由题设 $\phi (2)>\phi (1)$ 且 $\phi (2)>\phi (c)$ 。

对 $\phi (x)$ 在区间 $[1,2]$ 和 $[2,c]$ 上分别应用拉格朗日中值定理，得

再对 ${\phi }^{\prime }(x)$ 在区间 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在

使得

[命题目的] 考查积分中值定理证明及导数应用。

[思路点拨] 第一问的结果是解答第二问的关键。

[易错辨析] 连续函数的介值定理中 $\eta$ 在闭区间 $[a,b]$ 上。

[延伸拓展] 改进后的积分中值定理中 $\xi$ 可在开区间 $(a,b)$ 上。

【答案】 最大值 72，最小值 6

【解析】
命题目的
考查条件极值的拉格朗日乘数法。

思路点拨
求解具有两个约束条件的条件极值，方法与单一约束条件的情形相同。

详细解答
设

得到方程组

即

解得

于是

易错辨析
求解方程组是最容易出错的地方，计算时应仔细。

延伸拓展
可进一步探讨具有更多约束条件的最值问题。

【答案】
(I) 见解析
(II) 当 $a\ne 0$ 时，方程组有唯一解，且 $x_1=\frac{n}{(n+1)a}$
(III) 当 $a=0$ 时，方程组有无穷多解，且通解为 x=k​100⋮0​​+​010⋮0​​ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
命题目的
计算 n 阶三对角线行列式、求解非齐次方程组。

思路点拨
非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的特解。

详细解答

(I)

另一种方法（递推法）：

直接计算得：
$D_1=2a=(1+1)a^1$ ，
$D_2=3a^2=(2+1)a^2$ ，
假设 $D_{n-1}=n{a}^{n-1}$ ，则

(II)
方程组有唯一解时，由 $A\mathbf{x}=\mathbf{B}$ 知 $|A|\ne 0$ ，又 $|A|=(n+1)a^n$ ，故 $a\ne 0$ 。

记 $A=A_{n\times n}$ ，由克莱姆法则知，

其中 $A_1$ 是将 $A$ 的第一列替换为 $\mathbf{b}$ 后的行列式。经计算可得

(III)
方程组有无穷多解时， $|A|=0$ ，即 $a=0$ 。此时

对应的齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系为

非齐次方程组的一个特解为

故通解为

其中 $k$ 为任意常数。

易错辨析
用递推法计算 $|A|$ 的值比使用行列式性质计算，运算量要小得多。

【答案】
(I) 见解析
(II) ​−100​010​011​​

【解析】
命题目的
考查向量的线性相关性。

思路点拨
使用线性相关和线性无关的定义进行证明。

详细解答

(I) 方法一
假设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关。因为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 是不同特征值的特征向量，所以线性无关，则 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性表出。不妨设 ${\mathbf{\alpha }}_3=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+l_2{\mathbf{\alpha }}_2$ ，其中 $l_1,l_2$ 不全为零（若 $l_1,l_2$ 同时为 0，则 ${\mathbf{\alpha }}_3=0$ ，由 $A{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$ 可知 ${\mathbf{\alpha }}_2=0$ ）。