2015 年真题

选择题

1

下列反常积分收敛的是

正确答案：D

已知：

\int \frac{x}{e ^{x}} d x = - (x + 1) e^{- x}

计算：

\int_{2}^{+ \infty} \frac{x}{e ^{x}} d x = [- (x + 1) e^{- x}]_{2}^{+ \infty}

代入上下限：

= x \to + \infty lim [- (x + 1) e^{- x}] - [- (2 + 1) e^{- 2}]

化简：

= - x \to + \infty lim (x + 1) e^{- x} + 3 e^{- 2}

由于：

x \to + \infty lim (x + 1) e^{- x} = 0

因此：

\int_{2}^{+ \infty} \frac{x}{e ^{x}} d x = 3 e^{- 2}

2

函数 $f (x) = lim_{t \to 0} (1 + \frac{s i n t}{x})^{\frac{x ^{2}}{t}}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内

正确答案：B

$f (x) = lim_{t \to 0} (1 + \frac{s i n t}{x})^{\frac{x ^{2}}{t}} = e^{l i m_{t \to 0} \frac{s i n t \cdot x ^{2}}{x t}} = e^{x}$ ，其中 $x \neq = 0$ 。

因此， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有一个可去间断点。

3

设函数
$f (x) = {x^{α} cos \frac{1}{x ^{β}}, 0, x > 0 (α > 0, β > 0) x \leq 0$ ，
$f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续的充要条件是

正确答案：A

当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) = 0$ ，且 $f_{-}^{'} (0) = 0$ 。

f_{+}^{'} (0) = x \to 0^{+} lim \frac{x ^{α} cos \frac{1}{x ^{β}} - 0}{x} = x \to 0^{+} lim x^{α - 1} cos \frac{1}{x ^{β}}

当 $x > 0$ 时，

f^{'} (x) = α x^{α - 1} cos \frac{1}{x ^{β}} + (- 1) x^{α} sin \frac{1}{x ^{β}} (- β) \frac{1}{x ^{β + 1}} = α x^{α - 1} cos \frac{1}{x ^{β}} + β x^{α - β - 1} sin \frac{1}{x ^{β}}

若 $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，则：

f_{-}^{'} (0) = f_{+}^{'} (0) = x \to 0^{+} lim x^{α - 1} cos \frac{1}{x ^{β}} = 0

由此可得 $α - 1 > 0$ 。

又因为：

f^{'} (0) = x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = x \to 0^{+} lim (α x^{α - 1} cos \frac{1}{x ^{β}} + β x^{α - β - 1} sin \frac{1}{x ^{β}}) = 0

可得 $α - β - 1 > 0$ 。

因此，答案选择 A。

4

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续，其中二阶导数 $f^{''} (x)$ 的图形如图所示，则曲线 $y = f (x)$ 的拐点的个数为

正确答案：C
通过观察图像，函数曲线上存在两个点，其二阶导数发生了符号变化。因此，拐点的个数为 2。

5

设函数 $f (u, v)$ 满足 $f (x + y, \frac{y}{x}) = x^{2} - y^{2}$ ，则 $\frac{\partial f}{\partial u}_{u = 1 v = 1}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial v}_{u = 1 v = 1}$ 依次为 ( )

正确答案：D

此题考查二元复合函数偏导的求解。

令 $u = x + y$ ， $v = \frac{y}{x}$ ，则

x = \frac{u}{1 + v}, y = \frac{uv}{1 + v} .

于是 $f (x + y, \frac{y}{x}) = x^{2} - y^{2}$ 可化为

f (u, v) = (\frac{u}{1 + v})^{2} - (\frac{uv}{1 + v})^{2} = \frac{u ^{2} ( 1 - v )}{1 + v} .

因此，

\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{2 u ( 1 - v )}{1 + v}, \frac{\partial f}{\partial v} = - \frac{2 u ^{2}}{( 1 + v ) ^{2}} .

代入 $u = 1$ ， $v = 1$ 得

\frac{\partial f}{\partial u}_{u = 1 v = 1} = 0, \frac{\partial f}{\partial v}_{u = 1 v = 1} = - \frac{1}{2} .

故选 (D)。

6

设 $D$ 是第一象限由曲线 $2 x y = 1$ 、 $4 x y = 1$ 与直线 $y = x$ 、 $y = 3 x$ 围成的平面区域，函数 $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续，则

\iint_{D} f (x, y) d x d y =

正确答案：B

根据图示，在极坐标系下，该二重积分的积分区域为

D = {(r, θ) \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{3}, \frac{1}{2 sin 2 θ} \leq r \leq \frac{1}{sin 2 θ}}

因此，

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 s i n 2 θ}}^{\frac{1}{s i n 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r

故选择 B。

7

设矩阵 $A = 111124 1 a a^{2}$ ， $b = 1 d d^{2}$ ， $Ω = {1, 2}$ ，则线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解的充分必要条件为：（）

正确答案：D

(A, b) = 111124 1 a a^{2} 1 d d^{2} \to 100110 1 a - 1 (a - 1) (a - 2) 1 d - 1 (d - 1) (d - 2),

由 $r (A) = r (A, b) < 3$ ，故 $a = 1$ 或 $a = 2$ ，同时 $d = 1$ 或 $d = 2$ 。故选 (D)。

8

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，其中 $P = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ 。若 $Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为：（）

正确答案：A

由 $x = P y$ ，故 $f = x^{T} A x = y^{T} (P^{T} A P) y = 2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，且

P^{T} A P = 200010 00 - 1

Q = P 100 00 - 1 010 = PC

Q^{T} A Q = C^{T} (P^{T} A P) C = 200 0 - 1 0 001

所以 $f = x^{T} A x = y^{T} (Q^{T} A Q) y = 2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$ 。选 (A)

填空题

9

（填空题）

${x = arctan t y = 3 t + t^{3}$ ，则 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 1} =$

10

（填空题）函数 $f (x) = x^{2} \cdot 2^{x}$ 在 $x = 0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)} (0) =$

11

（填空题）设 $f (x)$ 连续， $φ (x) = \int_{0}^{x^{2}} x f (t) d t$ ，若 $φ (1) = 1$ ， $φ^{'} (1) = 5$ ，则 $f (1) =$

12

（填空题）设函数 $y = y (x)$ 是微分方程 $y^{''} + y^{'} - 2 y = 0$ 的解，且在 $x = 0$ 处 $y (x)$ 取得极值 3，则 $y (x) =$

13

（填空题）若函数 $Z = z (x, y)$ 由方程 $e^{x + 2 y + 3 z} + x yz = 1$ 确定，则 $d z ∣_{(0, 0)} =$

14

（填空题）若 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2$ ， $- 2$ ， $1$ ， $B = A^{2} - A + E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位阵，则行列式 $∣ B ∣ =$

解答题

15

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x) = x + a ln (1 + x) + b x sin x$ ， $g (x) = k x^{3}$ 。若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小，求 $a$ 、 $b$ 、 $k$ 的值。

16

（本题满分 10 分）

设 $A > 0$ ， $D$ 是由曲线段 $y = A sin x$ （ $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ ）及直线 $y = 0$ 和 $x = \frac{π}{2}$ 所围成的平面区域。 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转成旋转体的体积，若 $V_{1} = V_{2}$ ，求 $A$ 的值。

17

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x, y)$ 满足 $f_{x y}^{''} (x, y) = 2 (y + 1) e^{x}$ ， $f_{x}^{'} (x, 0) = (x + 1) e^{x}$ ， $f (0, y) = y^{2} + 2 y$ ，求 $f (x, y)$ 的极值。

18

（本题满分 10 分）

计算二重积分 $\iint_{D} x (x + y) d x d y$ ，其中 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2, y \geq x^{2}}$ 。

19

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x) = \int_{x}^{1} 1 + t^{2} d t + \int_{1}^{x^{2}} 1 + t d t$ ，求 $f (x)$ 零点的个数？

20

（本题满分 11 分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为 $12 0^{\circ} C$ 的物体在 $2 0^{\circ} C$ 的恒温介质中冷却， $30 min$ 后该物体降至 $3 0^{\circ} C$ 。若要将该物体的温度继续降至 $2 1^{\circ} C$ ，还需冷却多长时间？

21

（本题满分 11 分）

已知函数 $f (x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有 2 阶导数， $f (a) = 0$ ， $f^{'} (x) > 0$ ， $f^{''} (x) > 0$ ，设 $b > a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(b, f (b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$ ，证明 $a < x_{0} < b$ 。

22

（本题满分 11 分）

已知矩阵 $A = a 10 1 a 1 0 - 1 a$ ，且 $A^{3} = O$ 。

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 若矩阵 $X$ 满足 $X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E$ ， $E$ 为 3 阶单位阵，求 $X$ 。

23

（本题满分 11 分）

已知 $A = 0 - 1 1 23 - 2 - 3 - 3 a$ ， $B = 100 - 2 b 3 001$ 。

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{- 1} A P$ 为对角阵。