2023 年真题

（方法一）

首先计算斜率 $k$ ：

接着计算截距 $b$ ：

其中 ${\lim }_{x\to \infty }\left\{x\ln \left[1+\frac{1}{e(x-1)}\right]-\frac{1}{e}\right\}=0$ 。

因此，所求斜渐近线方程为 $y=x+\frac{1}{e}$ 。

（方法二）

将函数 $y$ 展开：

由于 $f(x)$ 为连续函数，所以 $C_1=1+C_2$ 。

(D) 为正确答案。

由递推关系可知， $\{x_n\}$ 、 $\{y_n\}$ 均为单调减数列，且为无穷小。由 $y_1=\frac{1}{2}$ ， $y_{n+1}=y_n^2$ 可知，

由于 $\sin x>\frac{2}{\pi }x$ （当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时），有

故

因此， $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小。

微分方程的特征方程为 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ ，特征根为 ${\lambda }_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$ 。

• 若 $a^2-4b>0$ ，特征方程有两个实根且 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，微分方程的解为 $y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$ ，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上无界。

• 若 $a^2-4b=0$ ，则 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-\frac{a}{2}$ ，微分方程的解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^{-\frac{a}{2}x}$ ，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上无界。

• 若 $a^2-4b<0$ ，则 ${\lambda }_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{4b-a^2}i}{2}$ ，微分方程的解为 $y=e^{-\frac{a}{2}x}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x+C_2\sin \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right)$ 。若此解在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界，则 $a=0$ ，进而 $b>0$ 。

因此答案选 (C)。

【评注】本题还可从选项出发，验证只有 (C) 符合条件。

当 $t\ge 0$ 时，

即 $y=\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}$ ；
当 $t<0$ 时，

即 $y=-x\sin x$ 。

因此，

计算一阶导数：

由

故 $f^{\prime }(0)=0$ ，且 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

计算二阶导数：

左右二阶导数不相等，故 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在。

【评注】泰勒公式判断导数存在性：

故 $y_{+}^{\prime \prime }(0)=\frac{2}{9}$ ， $y_{-}^{\prime \prime }(0)=-2$ ，因此 $y^{\prime \prime }(0)$ 不存在。

广义积分 ${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^{\alpha +1}}$ 当 $\alpha >0$ 时收敛，所以 $f(\alpha )$ 的定义域为 $\alpha >0$ 。

当 $\alpha >0$ 时，

记 $g(\alpha )=\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }$ ，则

令 $g^{\prime }(\alpha )=0$ ，得 $\alpha =-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 。

当 $0<\alpha <-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 时， $g^{\prime }(\alpha )>0$ ；当 $\alpha >-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 时， $g^{\prime }(\alpha )<0$ 。

所以 $g(\alpha )$ 在 ${\alpha }_0=-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 点取得最大值，从而 $f(\alpha )$ 在 ${\alpha }_0=-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ 点取得最小值。

由 $f(x)=(x^2+a)e^x$ 可知，

要使得 $f(x)$ 没有极值点，二次多项式 $x^2+2x+a$ 的判别式 $\Delta =4-4a\le 0$ ，即 $a\ge 1$ 。

要使得 $f(x)$ 有拐点，二次多项式 $x^2+4x+(a+2)$ 的判别式 $\Delta =16-4(a+2)>0$ ，即 $a<2$ 。

所以 $a\in [1,2)$ 。

（方法一）分别令 (A)、(B)、(C)、(D) 选项中的矩阵为 $I_1$ 、 $I_2$ 、 $I_3$ 、 $I_4$ 。

因此，选项 (D) 是正确的。

（方法二）

（方法一）配方法

正确答案为（B）。

（方法二）合同变换法
二次型对应的对称矩阵为

通过合同变换可得正惯性指数为 $1$ ，负惯性指数为 $1$ ，故选（B）。

（方法三）特征值法
计算

特征值为 $0$ 、 $3$ 、 $-7$ ，正惯性指数为 $1$ ，负惯性指数为 $1$ ，故选（B）。

（方法四）可逆线性变换
令

则

其对应的矩阵特征值为 $1$ 、 $-7$ 、 $0$ ，正惯性指数为 $1$ ，负惯性指数为 $1$ ，故选（B）。

设 $\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=x_3{\beta }_1+x_4{\beta }_2$ ，即 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2-x_3{\beta }_1-x_4{\beta }_2=0$ 。

对矩阵 $\left[{\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\beta }_1,-{\beta }_2\right]$ 进行行初等变换，得到行最简形：

方程组的解为：

则：

其中 $k=-x_4\in \mathbb{R}$ 。

正确答案为 (D)。