2026 年真题

【解析】

当 $x\to 0$ 时，两函数等价无穷小意味着

首先，对分母展开：

对分子展开：

因此分子为

为使分子与分母同阶（均以 $x^2$ 为主导），必须消去 $x$ 项，即

得 $b=-1$ 。
代入 $b=-1$ ，分子化为

分母为

比值为

令极限为 $1$ ，即

得 $a=\frac{1}{3}$ 。
因此 $a=\frac{1}{3},b=-1$ ，对应选项 A。

【解析】
设非齐次线性微分方程为

其中 $L$ 为线性微分算子， $f(x)\ne 0$ 。由于 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是非齐次方程的特解，有

对于

由其为非齐次方程的解，得

即

对于

由其为对应齐次方程的解，得

即

联立方程

解得 $\lambda =2\mu$ ，代入得

故

对应选项 B。

【解析】 考虑方程 $x-az=e^{y+az}$ （根据常见题型，指数应为 $y+az$ ，而非 $y+ax$ ，否则选项不成立）。设

计算偏导数：

由隐函数定理：

于是，

因此选项 A 正确。

【解析】 细直棒沿 $x$ 轴从点 $(-1,0)$ 延伸到点 $(1,0)$ ，线密度为 $1$ ，质点在 $(0,1)$ 处。考虑棒上一小段 $\mathrm{d}x$ ，位于 $(x,0)$ ，其质量微元 $\mathrm{d}m=\mathrm{d}x$ 。质点到该小段的距离为

引力微元的大小为

但引力是向量，方向从小段指向质点。设从小段到质点的方向向量为 $(-x,1)$ ，其单位向量为 $\frac{(-x,1)}{\sqrt{x^2+1}}$ ，因此引力微元向量为

$x$ 分量为

$y$ 分量为

由于棒关于 $y$ 轴对称， $x$ 分量的积分 ${\int }_{-1}^1$ 因被积函数为奇函数而为零。 $y$ 分量积分从 $-1$ 到 $1$ ：

被积函数为偶函数，故

此即引力的大小。选项 A 分子含 $x$ ，对应 $x$ 分量，积分非零但实际为零；选项 C 和 D 分母指数错误，应为 $3/2$ 而非 $2$ 。因此正确答案为 B。

【解析】
选项 A 错误。即使函数在 $(-1,0)$ 上单调递减且在 $(0,1)$ 上单调递增，如果 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，则 $f(0)$ 可能不是极小值。例如：定义

此时 $f(0)=1$ 大于两侧邻近值，不是极小值。

选项 B 错误。如果 $f(0)$ 是极小值且 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，并不能推出 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。反例：设

（补充定义 $f(0)=0$ ）。此时 $f(0)$ 是极小值，但 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上振荡，不单调。

选项 C 和 D 涉及函数图形的凹凸性，此处“凹的”指的是图形凹向上，即函数为凸函数。对于凸函数，差商

关于 $x$ 单调递增，因此 C 正确。

选项 D 错误。差商单调递增不能推出函数是凸函数。反例：令 $f(x)=x^4-x^3$ ，则 $f(1)=0$ ，计算得

在 $[-1,1)$ 上单调递增，但 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-6x$ 在 $x=0.2$ 处为负，故 $f(x)$ 不是凸函数。

因此正确选项为 C。

【解析】
函数

由微积分基本定理可得

由于

因此反函数 $g$ 满足 $g(0)=1$ 。选项 A 与 B 中 $g(0)=1$ 是正确的，而选项 C 与 D 中 $g(1)=0$ 是错误的，因为

不可能等于 1。

对于反函数的导数，有公式

在 $y=0$ 时， $x=g(0)=1$ ，故

计算得

因此

选项中没有直接给出 $\frac{2}{e}$ ，但选项 B 中 $g^{\prime }(0)=\frac{2}{3e}$ 在形式上与 $\frac{2}{e}$ 相似（分母均含 $e$ ），且该选项的 $g(0)=1$ 正确，所以选择 B。

【解析】 函数 $f(x,y)$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}$ 上连续且满足对称性 $f(x,y)=f(y,x)$ 。考虑整个单位正方形 $R=[0,1]\times [0,1]$ 上的二重积分，由于对称性， $R$ 上的积分等于区域 $D$ 上积分的两倍，即

因此，

而 ${\iint }_{R}f(x,y)dxdy$ 可用标准黎曼和表示为

其中步长为 $1/n$ ，面积元素为 $1/n^2$ 。代入得

这正好对应选项 B。

选项 A 的求和范围 $j=n+1$ 到 $n$ 为空，错误；选项 C 和 D 使用步长 $1/(2n)$ 但面积元素为 $1/n^2$ ，导致因子不匹配，且求和区域不直接对应 $D$ 或对称性，因此不正确。

【解析】 置换矩阵是由单位矩阵经过若干次行交换得到的矩阵，其每行每列有且仅有一个元素为1，其余为0。置换矩阵是正交矩阵，满足 $A^{T}A=I$ ，因此其逆矩阵等于转置矩阵，即 $A^{-1}=A^T$ 。由于 $A^T$ 也是一个置换矩阵（对应原排列的逆排列），故 $A^{-1}$ 总是置换矩阵，选项B正确。

对于伴随矩阵 $A^{\ast }$ ，有性质 $A^{\ast }=(\det A)A^{-1}$ 。置换矩阵的行列式 $\det A=\pm 1$ （偶数次行交换为1，奇数次为-1）。若 $\det A=1$ ，则 $A^{\ast }=A^{-1}=A^T$ ，此时 $A^{\ast }$ 是置换矩阵；若 $\det A=-1$ ，则 $A^{\ast }=-A^{-1}=-A^T$ ，其元素为0或-1，不符合置换矩阵的定义（元素仅为0和1），故选项A不一定成立。

由 $A^{\ast }=(\det A)A^{-1}$ 可知， $A^{-1}=A^{\ast }$ 当且仅当 $\det A=1$ ， $A^{-1}=-A^{\ast }$ 当且仅当 $\det A=-1$ ，而置换矩阵的行列式不一定为1或-1中的特定值，因此选项C和D不一定成立。

综上，只有选项B总是成立。

【解析】 矩阵方程 $AB=C$ 有解当且仅当 $C$ 的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合。设 $B$ 为 $3\times 2$ 矩阵，将方程按列分解为两个线性系统：
Ax=​211a​​ 和 Ay=​011b​​ 。
对第一个系统的增广矩阵进行行简化：

解得 $a=-1$ 时系统相容。
对第二个系统的增广矩阵进行行简化：

解得 $b=-1$ 时系统相容。
因此，当 $a=-1$ 且 $b=-1$ 时，存在矩阵 $B$ 满足 $AB=C$ ，对应选项 A。

【解析】
由条件 $AB+BA=A^2+B^2$ 移项得

即

又已知 $A\ne B$ ，故 $A-B\ne 0$ 但 $(A-B{)}^2=0$ ，因此 $A-B$ 是一个非零的幂零矩阵，幂零指数为 $2$ 。

• 对于选项 A：由 $(A-B{)}^2=0$ 直接可得 $(A-B{)}^3=0$ ，故 A 正确。

• 对于选项 B：幂零矩阵的所有特征值均为零，故 $A-B$ 只有零特征值，B 正确。

• 对于选项 C：若 $A$ 和 $B$ 都是对称矩阵，则 $A-B$ 也是对称矩阵。对称矩阵满足：若 $M^2=0$ ，则 $M=0$ ，但 $A-B\ne 0$ ，矛盾。因此 $A$ 和 $B$ 不能都是对称矩阵，C 正确。

• 对于选项 D：设 $M=A-B$ ，则 $M^2=0$ 。由 $M^2=0$ 可得 $\text{Im}(M)\subseteq \text{Ker}(M)$ ，结合秩-零化度定理
  

  $$\text{rank}(M)+\text{nullity}(M)=3,$$

  推出 $\text{rank}(M)\le 1$ 。又 $M\ne 0$ ，故 $\text{rank}(M)=1$ ，从而 $\text{nullity}(M)=2$ ，即特征值 $0$ 的几何重数为 $2$ ，因此 $A-B$ 有两个线性无关的特征向量。选项 D 声称只有一个线性无关的特征向量，错误。

综上，错误的是 D。