2012 年真题

【答案】 $e^{-\sqrt{2}}$

【解析】

所以

【答案】 4

【解析】

由 $f(x)$ 的表达式知，当 $x<1$ 时， $f^{\prime }(x)=2$ ，所以 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(-1)=2$ 。

因此，

【答案】

【解析】
由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 $f(x,y)=2x-y+2+o\left(\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}\right)$ 。

因此：

故：

【答案】 4 \ln 2

【解析】 用被积函数为1的二重积分来求，图形在第一象限的交点为：

$y=x$ 与 $y=\frac{4}{x}$ 交于 $(2,2)$ ，

$y=4x$ 与 $y=\frac{4}{x}$ 交于 $(1,4)$ 。

将区域分为两部分：

1. 当 $0<y\le 2$ 时， $x$ 的范围是 $\frac{y}{4}$ 到 $y$ 。
2. 当 $2<y\le 4$ 时， $x$ 的范围是 $\frac{y}{4}$ 到 $\frac{4}{y}$ 。

所以面积 $S$ 为：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

代入上下限：

最终面积为：

【答案】 -27

【解析】 由于交换 $A$ 的第一行与第二行得到矩阵 $B$ ，即 $B=E_{12}A$ （其中 $E_{12}$ 为交换单位矩阵第一、二行的初等矩阵），则

因为 $A{A}^{\ast }=|A|E=3E$ ，所以

行列式

（因为交换两行的初等矩阵行列式为 $-1$ ）。

【答案】 $\frac{3}{4}$

【解析】 根据条件概率公式：

已知：

由于事件 $A$ 与 $C$ 互不相容，即 $AC=\varnothing$ ，因此：

进一步分解 $AB$ ：

其中 $AB\overline{C}$ 与 $ABC$ 互斥，故：

代入已知条件：

最终计算条件概率：

【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 由题意知，区域 $D=\{(x,y)\mid 0<x\le 1,\sqrt{x}<y<\frac{1}{\sqrt{x}}\}$ ，则有

【答案】

1. 总成本函数为 $C(x,y)=20x+\frac{x^2}{4}+6y+\frac{1}{2}{y}^2+10000$ 。
2. 当总产量为50件时，甲产品产量为24件，乙产品产量为26件时总成本最小，最小成本为11118万元。
3. 总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本为32万元/件，其经济意义为：在要求总产量为50件时，当甲产品为24件，这时改变一个单位的甲产品产量，成本会发生32万元的改变。

【解析】

1. 设成本函数为 $C(x,y)$ ，由题意有：
   

   $$C_x^{\prime }(x,y)=20+\frac{x}{2}$$

   对 $x$ 积分得：
   

   $$C(x,y)=20x+\frac{x^2}{4}+D(y)$$

   再对 $y$ 求导有：
   

   $$C_y^{\prime }(x,y)=D^{\prime }(y)=6+y$$

   再对 $y$ 积分有：
   

   $$D(y)=6y+\frac{1}{2}{y}^2+c$$

   所以：
   

   $$C(x,y)=20x+\frac{x^2}{4}+6y+\frac{1}{2}{y}^2+c$$

   又 $C(0,0)=10000$ ，故 $c=10000$ ，所以：
   

   $$C(x,y)=20x+\frac{x^2}{4}+6y+\frac{1}{2}{y}^2+10000$$

2. 若 $x+y=50$ ，则 $y=50-x$ （ $0\le x\le 50$ ），代入到成本函数中，有：
   

   $$\begin{array}{rl}C(x)& =20x+\frac{x^2}{4}+6(50-x)+\frac{1}{2}(50-x{)}^2+10000\\ & =\frac{3}{4}{x}^2-36x+11550\end{array}$$

   令 $C^{\prime }(x)=\frac{3}{2}x-36=0$ ，得 $x=24$ ， $y=26$ 。此时总成本最小：
   

   $$C(24,26)=11118$$

3. 总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本为：
   

   $$C_x^{\prime }(24,26)=20+\frac{24}{2}=32$$

   表示在要求总产量为50件时，当甲产品为24件，这时改变一个单位的甲产品产量，成本会发生32万元的改变。

【答案】 见解析

【解析】 令 $f(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}$ ，可得导数为：

当 $0<x<1$ 时， $\ln \frac{1+x}{1-x}\ge 0$ ，且 $\frac{1+x^2}{1-x^2}>1$ 。因此：

因为 $x\ge \sin x$ 在 $x\ge 0$ 时成立，故 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 。又因为 $f(0)=0$ ，所以当 $0<x<1$ 时， $f(x)\ge 0$ ，即：

当 $-1<x<0$ 时，令 $t=-x$ ，则 $0<t<1$ 。此时：

由上述 $0<t<1$ 时的结论可知 $f(x)\ge 0$ ，即：

综上，不等式：

在 $-1<x<1$ 时成立。

【答案】

1. $f(x)=e^x$
2. 拐点为 $(0,0)$

【解析】

1. 特征方程为 $r^2+r-2=0$ ，特征根为 $r_1=1$ ， $r_2=-2$ 。齐次微分方程 $f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$ 的通解为 $f(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$ 。

由 $f^{\prime }(x)+f(x)=2e^x$ 得：

即：

所以 $C_1=1$ ， $C_2=0$ ，故 $f(x)=e^x$ 。

2. 曲线方程为 $y=e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ ，则：