2016 年真题

选择题

1

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续, 其导函数 $f'(x)$ 的图形如下所示, 则

高等数学一元函数微分学函数的单调性、极值与最值

正确答案：B

【解析】

设 $f’(x)$ 与 $x$ 轴的交点为 $x_1, x_2, x_3$ (从左到右)。

由图可知，在 $x_1, x_2$ 左右两侧 $f’(x)$ 异号，因此 $f(x)$ 在 $x_1, x_2$ 处均取得极值。

从图中可以看出，$f’(x)$ 有两个转折点 $x_4, x_5$ (从左到右)，并且在 $x_4, x_5$ 左右两侧 $f’’(x)$ 异号，因此 $x_4, x_5$ 即为 $f(x)$ 的两个拐点。

值得注意的是，$x=1$ 也是 $f(x)$ 的拐点，虽然 $f(x)$ 在 $x=1$ 处无定义，但当 $x<1$ 时，$f’’(x)<0$，当 $1<x<x_4$ 时，$f’’(x)>0$，因此 $x=1$ 是 $f(x)$ 的拐点，即 $f(x)$ 一共有 3个拐点。

2

已知函数 $f(x, y) = \frac{e^x}{x-y}$ ，则

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

正确答案：D

【解析】

f'_x = \frac{e^x(x-y) - e^x}{(x-y)^2}

f'_y = \frac{e^x}{(x-y)^2}

因此 $f'_x + f'_y = f$ .

3

设 $J_i = \iint_{D_i} \sqrt{x - y} \, dx \, dy \, (i=1, 2, 3)$ ，其中

D_1 = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\},

D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{x}\},

D_3 = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, x^2 \le y \le 1\},

则

高等数学多元函数积分学重积分的计算

正确答案：B

【解析】因为 $D_1$ 关于 $y = x$ 对称，所以由轮换对称性得

J_1 = \iint_{D_1} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy = \iint_{D_1} \sqrt[3]{y - x} \, dx \, dy,

故 $J_1 = 0$ ；

令 $D_0 = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, y^2 \leq y \leq \sqrt{x}\}$ ，
因为 $D_0$ 关于 $y = x$ 对称，所以由轮换对称性得 $J_0 = 0$ ，

则

\begin{align*} J_2 &= \iint_{D_2} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy \\ &= \iint_{D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy + \iint_{D_2 \setminus D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy \\ &= \iint_{D_2 \setminus D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy > 0, \\[6pt] J_3 &= \iint_{D_3} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy \\ &= \iint_{D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy + \iint_{D_3 \setminus D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy \\ &= \iint_{D_3 \setminus D_0} \sqrt[3]{x - y} \, dx \, dy < 0, \end{align*}

从而 $J_3 < J_1 < J_2$ 。

4

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n) + C}{n}$ （ $C$ 为常数）为（）

高等数学无穷级数常数项级数敛散性的判定

正确答案：A

【解析】

\left| \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) \sin(n+k) \right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}},

令

\begin{align*} S_n &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{i}} - \frac{1}{\sqrt{i+1}} \right) \\ &= 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \\ &= 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}, \end{align*}

则

\lim_{n \to \infty} S_n = 1,

故级数

\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)

收敛，因此级数

\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) \sin(n+k)

绝对收敛。

5

设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是：

线性代数矩阵的相似与相似对角化

正确答案：C

【解析】 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$ 。

两边同时取逆得 $P^{-1}A^{-1}P = B^{-1}$ ，因此 $P^{-1}(A + A^{-1})P = B + B^{-1}$ ,

从而 $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似， $A + A^{-1}$ 与 $B + B^{-1}$ 相似。

$P^{-1}AP = B$ 两边同时取转置得 $P^TA^T(P^T)^{-1} = B^T$ ，显然 $A^T$ 与 $B^T$ 相似，但 $A + A^T$ 与 $B + B^T$ 不相似。

6

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = a(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 的正、负惯性指数分别为 1, 2, 则

线性代数二次型

正确答案：C

【解析】 二次型 $f(x_1, x_2, x_3)$ 的系数矩阵为

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}.

矩阵 $A$ 的特征方程为

|\lambda E - A| = (\lambda - a - 2)(\lambda - a + 1)^2 = 0,

故其特征值为

\lambda_1 = \lambda_2 = a - 1, \quad \lambda_3 = a + 2.

若二次型的正、负惯性指数分别为 $1, 2$ ，则

\begin{cases} a + 2 > 0, \\ a - 1 < 0, \end{cases}

解得

-2 < a < 1.

7

设 $A, B$ 为两个随机事件, 且 $0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1$ . 如果 $P(A \mid B) = 1$ , 则

概率论与数理统计随机事件和概率

正确答案：A
【解析】 由

P(A|B) = 1

可知

B \subseteq A

，则

\bar{A} \subseteq \bar{B}

，从而

P(\bar{B}|\bar{A}) = 1

。

8

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(1, 2), Y \sim N(1, 4)$ , 则 $D(XY) =$

概率论与数理统计随机变量的数字特征协方差与相关系数

正确答案：C

【解析】由题意可得 $E(X) = E(Y) = 1, D(X) = 2, D(Y) = 4$ .

由随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 得 $E(XY) = E(X)E(Y) = 1$ ,

E(X^2) = D(X) + E^2(X) = 3, E(Y^2) = D(Y) + E^2(Y) = 5,

故 $D(XY) = E(X^2Y^2) - E^2(XY) = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)E(Y)]^2 = 14$ .

填空题

9

（填空题）已知函数 $f(x)$ 满足 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f(x) \sin 2x} - 1}{e^{3x} - 1} = 2$ ，则 $\lim_{x \to 0} f(x) =$ .

高等数学函数、极限、连续确定极限中的参数

【答案】 6

【解析】

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f(x) \sin 2x} - 1}{e^{3x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} f(x) \sin 2x}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} f(x) = 2,

则

\lim_{x \to 0} f(x) = 6.

10

（填空题）极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{1}{n} + 2 \sin \frac{2}{n} + \cdots + n \sin \frac{n}{n} \right) =$ .

高等数学一元函数积分学定积分的概念、性质及几何意义

【答案】 $\sin 1 - \cos 1$

【解析】
原式可写为

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sin\frac{k}{n}.

由定积分定义，

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sin\frac{k}{n} = \int_0^1 x \sin x \, dx.

计算得

\int_0^1 x \sin x \, dx = \sin 1 - \cos 1.

11

（填空题）设函数 $f(u, v)$ 可微， $z = z(x, y)$ 由方程 $(x + 1)z - y^2 = x^2 f(x - z, y)$ 确定，则 $\left. \mathrm{d}z \right|_{(0, 1)} =$ .

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

【答案】 $-dx + 2dy$

【解析】 将 $x=0, y=1$ 代入题中所给方程, 得 $z=1$ . 方程两边同时对 $x$ 求偏导, 得 $z + (x+1)z_x = 2xf(u,v) + x^2 f'_1 \cdot (1-z_x)$

将点 $(0, 1, 1)$ 代入其中得 $z_x|_{(0,1)} = -1$ ;

方程两边同时对 $y$ 求偏导, 得 $(x+1)z_y - 2y = x^2 \left[ f'_1 \cdot (-z_y) + f'_2 \right]$ ,

将点 $(0, 1, 1)$ 代入其中得 $z_y|_{(0,1)} = 2$ ,

因此, $dz|_{(0,1)} = -dx + 2dy$ .

12

（填空题）设 $D = \{ (x, y) \mid |x| \le y \le 1, -1 \le x \le 1 \}$ ，则 $\iint_D x^2 e^{-y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y =$ .

高等数学多元函数积分学重积分的计算

【答案】 $\frac{1}{3} - \frac{2}{3e}$

【解析】

\begin{align*} \iint_{D} x^2 e^{-y^2} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y &= \int_{0}^{1} e^{-y^2} \,\mathrm{d}y \int_{-y}^{y} x^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{-y^2} \left( x^3 \Big|_{-y}^{y} \right) \,\mathrm{d}y \\ &= \frac{2}{3} \int_{0}^{1} e^{-y^2} y^3 \,\mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{-y^2} \cdot y^2 \,\mathrm{d}(y^2) \\ &= -\frac{1}{3} \left[ y^2 e^{-y^2} + e^{-y^2} \right] \Big|_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{3} - \frac{2}{3e}. \end{align*}

13

（填空题）

行列式

\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda + 1 \end{vmatrix} =

高等数学多元函数积分学旋度的定义

【答案】 $\lambda^4 + \lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda + 4$

【解析】 【解析】按第一列展开

\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda + 3) + 4 = \lambda^4 + \lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda + 4.

14

（填空题）设袋中有红、白、黑球各 $1$ 个，从中放回地取球，每次取 $1$ 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 $4$ 的概率为

概率论与数理统计随机事件和概率

【答案】 $\frac{2}{9}$

【解析】 若取球次数恰好为 4, 则前三次只能取到两种颜色的球, 第四次为第三种颜色, 则 $P = \frac{C_3^2 C_3^1 C_1^1 C_2^1}{3^4} = \frac{2}{9}$ .

解答题

15

(本题满分 10 分)

求极限 $\lim_{x \to 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^4}}$

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

【答案】 \[e^{\frac{1}{3}} \]

【解析】
由泰勒展开得

\begin{gather*} \cos 2x = 1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} + \cdots, \quad -\infty < x < \infty; \\ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad -\infty < x < +\infty. \end{gather*}

故原式=

\begin{align*} &\lim_{x \to 0} \left[ 1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} + 2x \left( x - \frac{x^3}{3!} \right) + o(x^4) \right]^{\frac{1}{x^4}} \\ &= \lim_{x \to 0} \left[ 1 + \frac{1}{3}x^4 + o(x^4) \right]^{\frac{1}{x^4}} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{3}x^4 \right)^{\frac{3}{x^4} \cdot \frac{1}{3}} \\ &= e^{\frac{1}{3}}. \end{align*}

16

(本题满分 10 分)

设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数为 $Q = Q(P)$ ，需求弹性

\eta = \frac{P}{120 - P} \quad (\eta > 0)

$P$ 为单价 (万元)。

(1) 求需求函数的表达式;

(2) 求 $P = 100$ 万元时的边际收益，并说明其经济意义。

高等数学一元函数积分学定积分的应用

【答案】
(1) 需求函数： $Q(P) = 1200 - 10P$
(2) 边际收益：80万元，经济意义：销售第201件商品所得收益为80万元。

【解析】

(1) 由 $\eta = -\frac{dQ/dP}{Q/P} = \frac{P}{120-P}$ 可知

\frac{dQ}{dP} + \frac{1}{120-P}Q = 0,

解得 $Q = C(120 - P)$ ，由 $Q(0) = 1 \, 200$ 知 $C = 10$ ，故 $Q(P) = 1 \, 200 - 10P$ .

(2) 收益函数

R(Q) = PQ = \frac{(1200 - Q)Q}{10}

故

\frac{dR}{dQ} = \frac{1200 - 2Q}{10}.

因此当 $P = 100$ 时， $Q = 200$ ，此时

\left. \frac{dR}{dQ} \right|_{Q=200} = 80.

其经济意义为销售第 201 件商品所得收益为 80 万元。

17

(本题满分 10 分)

设函数 $f(x) = \int_0^x |t^2 - x^2| dt (x > 0)$ ，求 $f'(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值。

高等数学一元函数积分学变限积分

【答案】 $f'(x) = \begin{cases} 4x^2 - 2x, & 0 < x < 1 \\ 2x, & x \geq 1 \end{cases}$ ，最小值为 $\frac{1}{4}$

【解析】 当 $x \geq 1$ 时， $f(x) = \int_{0}^{1} (x^2 - t^2) \, dt = x^2 - \frac{1}{3}$ ；

当 $0 < x < 1$ 时， $f(x) = \int_{0}^{x} (x^2 - t^2) \, dt + \int_{x}^{1} (t^2 - x^2) \, dt = \frac{4}{3} x^3 - x^2 + \frac{1}{3}$ 。

且 $\lim_{x \to 1^{+}} f'(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f'(x) = 2$ ，故 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处可导。

所以

f'(x) = \begin{cases} 4x^2 - 2x, & 0 < x < 1; \\ 2x, & x \geq 1. \end{cases}

故 $x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$ ， $f'(x) < 0; x \in \left( \frac{1}{2}, +\infty \right)$ ， $f'(x) > 0$ 。因此 $f(x)$ 的最小值为

f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{4}{3} \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{4}.

18

(本题满分 10 分)

设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $\int_0^x f(x-t) dt = \int_0^x (x-t) f(t) dt + e^{-x} - 1$ ，求 $f(x)$ 。

高等数学一元函数积分学变限积分

【答案】 $f(x) = -\frac{1}{2} (e^{x} + e^{-x})$

【解析】 令 $x - t = u$ ，则

\int_{0}^{x} f(x - t) dt = \int_{0}^{x} f(u) du,

又

\int_{0}^{x} (x - t) f(t) dt = x \int_{0}^{x} f(t) dt - \int_{0}^{x} tf(t) dt,

故原式可化为

\int_{0}^{x} f(t) dt = x \int_{0}^{x} f(t) dt - \int_{0}^{x} tf(t) dt + e^{-x} - 1,

上式两边同时对 $x$ 求导得

f(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt + x f(x) - x f(x) - e^{-x} = \int_{0}^{x} f(t) dt - e^{-x},

可得 $f(0) = -1$ ,

上式两边再对 $x$ 求导得

f'(x) = f(x) + e^{-x},

即 $f'(x) - f(x) = e^{-x}$ ,

解得

f(x) = \left( \int e^{-x} e^{\int -1 dx} dx + C \right) e^{\int -1 dx} = Ce^{x} - \frac{1}{2} e^{-x},

由 $f(0) = -1$ ，得 $C = -\frac{1}{2}$ ，故

f(x) = -\frac{1}{2} (e^{x} + e^{-x}).

19

(本题满分 10 分)

求幂级数

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)}

的收敛域及和函数。

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

【答案】 收敛域为 $[-1, 1]$ ，和函数为 $S(x) = \begin{cases} (1+x) \ln (1+x) - (1-x) \ln (1-x), & -1 < x < 1, \\ 2 \ln 2, & x = \pm 1. \end{cases}$

【解析】 由 $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)(2n+3)}{(n+1)(2n+1)} = 1$ 得收敛半径 $R = 1$ 。

当 $x = \pm 1$ 时，该级数收敛，故收敛域为 $[-1, 1]$ 。

和函数 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(2n+1)} x^{2n+2}$ 。

(1) 当 $-1 < x < 1$ 时，

S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+2)}{(n+1)(2n+1)} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(2n+1)} x^{2n+1},

S''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2(2n+1)}{2n+1} x^{2n} = \frac{2}{1-x^2}.

积分得 $S'(x) = \int \frac{2}{1-x^2} dx = \int \left( \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} \right) dx = \ln \frac{1+x}{1-x} + C_1,$

S(x) = \int \left( \ln \frac{1+x}{1-x} + C_1 \right) dx = (1+x) \ln (1+x) - (1-x) \ln (1-x) + C_1 x + C_2.

由 $S(0) = 0, S'(0) = 0$ 知 $C_1 = C_2 = 0,$ 故 $S(x) = (1+x) \ln (1+x) - (1-x) \ln (1-x).$

(2) 当 $x = \pm 1$ 时，

S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(2n+1)} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \right) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 2 \ln 2.

故 $S(x) = \begin{cases} (1+x) \ln (1+x) - (1-x) \ln (1-x), & -1 < x < 1, \\ 2 \ln 2, & x = \pm 1. \end{cases}$

20

(本题满分 11 分)

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1 \end{pmatrix}$ ， $\beta = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2a-2 \end{pmatrix}$ ，且方程组 $A \mathbf{x} = \beta$ 无解。

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 求方程组 $A^T A \mathbf{x} = A^T \beta$ 的通解。

线性代数线性方程组

【答案】
(1) $a = 0$
(2) 方程组 $A^T A \mathbf{x} = A^T \beta$ 的通解为 $\mathbf{x} = k \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
(1) $(A, \beta) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 - a & 0 \\ 1 & 0 & a & 1 \\ a + 1 & 1 & a + 1 & 2a - 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 - 2a & -1 \\ 0 & 0 & a (2 - a) & a - 2 \end{pmatrix}$ ,

因为方程组 $Ax = \beta$ 无解，则 $r(A) \neq r(A, \beta)$ ，故 $a = 0$ 。

(2) 由(1)知，

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^T \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix},

(A^T A \mid A^T \beta) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

故方程组 $Ax = \beta$ 的通解为 $x = k \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ （ $k$ 为任意常数）。

21

（本题满分 11 分）

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

(1) 求 $A^{99}$ ;

(2) 设 3 阶矩阵 $B = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$ 满足 $B^2 = BA$ , 记 $B^{100} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3)$ , 将 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 分别表示为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性组合。

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

【答案】
(1)

A^{99} = \begin{pmatrix} 2^{99} - 2 & 1 - 2^{99} & 2 - 2^{98} \\ 2^{100} - 2 & 1 - 2^{100} & 2 - 2^{99} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(2)

\begin{cases} \boldsymbol{\beta}_1 = (2^{99} - 2)\boldsymbol{\alpha}_1 + (2^{100} - 2)\boldsymbol{\alpha}_2, \\ \boldsymbol{\beta}_2 = (1 - 2^{99})\boldsymbol{\alpha}_1 + (1 - 2^{100})\boldsymbol{\alpha}_2, \\ \boldsymbol{\beta}_3 = (2 - 2^{98})\boldsymbol{\alpha}_1 + (2 - 2^{99})\boldsymbol{\alpha}_2 \end{cases}

【解析】
(1) 由

|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ -2 & \lambda + 3 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda (\lambda + 2)(\lambda + 1) = 0

可知 $A$ 的特征值为

\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = -2.

将 $A$ 对角化，

当 $\lambda_1 = 0$ 时，由 $(OE - A)X = 0$ 得特征向量 $X_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ ；

当 $\lambda_2 = -1$ 时，由 $(-E - A)X = 0$ 得特征向量 $X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ；

当 $\lambda_3 = -2$ 时，由 $(-2E - A)X = 0$ 得特征向量 $X_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。

令 $P = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ ，因此

P^{-1}A^{99}P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{99} & 0 \\ 0 & 0 & (-2)^{99} \end{pmatrix}

所以有

A^{99} = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{99} & 0 \\ 0 & 0 & (-2)^{99} \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^{99} - 2 & 1 - 2^{99} & 2 - 2^{98} \\ 2^{100} - 2 & 1 - 2^{100} & 2 - 2^{99} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(2) $B^{100} = B^{98}B^2 = B^{98}BA = \cdots = BA^{99}$ ，

故 $(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)A^{99}$ ，因此有

\begin{cases} \boldsymbol{\beta}_1 = (2^{99} - 2)\boldsymbol{\alpha}_1 + (2^{100} - 2)\boldsymbol{\alpha}_2, \\ \boldsymbol{\beta}_2 = (1 - 2^{99})\boldsymbol{\alpha}_1 + (1 - 2^{100})\boldsymbol{\alpha}_2, \\ \boldsymbol{\beta}_3 = (2 - 2^{98})\boldsymbol{\alpha}_1 + (2 - 2^{99})\boldsymbol{\alpha}_2 \end{cases}

22

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{ (x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x} \}$ 上服从均匀分布, 令 $U = \begin{cases} 1, & X \le Y, \\ 0, & X > Y. \end{cases}$

(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;

(2) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立? 并说明理由。

(3) 求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F(z)$ .

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

【答案】
(1) $(X, Y)$ 的概率密度函数为

f(x, y) = \begin{cases} 3, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

(2) $U$ 与 $X$ 不相互独立。
(3) $Z = U + X$ 的分布函数为

F(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ \frac{3}{2}z^{2} - z^{3}, & 0 \leq z < 1, \\ 2(z-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}(z-1)^{2} + \frac{1}{2}, & 1 \leq z < 2, \\ 1, & z \geq 2. \end{cases}

【解析】
(1) 区域 $D$ 的面积为

S_D = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3 \right) \bigg|_0^1 = \frac{1}{3},

故 $(X, Y)$ 的概率密度函数为

f(x, y) = \begin{cases} 3, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

(2) 设 $U$ 和 $X$ 的联合分布函数为 $G(u, x)$ ,

G(0, t) = P \{U = 0, X \leq t\} = P \{X > Y, X \leq t\} = \int_0^t \int_{x^2}^x f(x, y) \, dy \, dx = \frac{3}{2}t^2 - t^3;

G(1, t) = P \{U = 1, X \leq t\} = 2t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}t^2.

由于

P\{U=0\} = P\{X > Y\} = \int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dy \, dx = \frac{1}{2} = P\{U=1\},

显然

G(u,x) \neq P\{U=u\}P\{X \leq x\},

故 $U$ 与 $X$ 不独立。

(3) 当 $z < 0$ 时， $F(z) = 0$ ;
当 $0 \leq z < 1$ 时， $F(z) = P\{U=0, X \leq z\} = \frac{3}{2}z^{2} - z^{3}$ ;
当 $1 \leq z < 2$ 时， $F(z) = P\{U=1, X \leq z-1\} + P\{U=0, X \leq z\} = 2(z-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}(z-1)^{2} + \frac{1}{2}$ ;
当 $z \geq 2$ 时， $F(z) = 1$ 。
故

F(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ \frac{3}{2}z^{2} - z^{3}, & 0 \leq z < 1, \\ 2(z-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}(z-1)^{2} + \frac{1}{2}, & 1 \leq z < 2, \\ 1, & z \geq 2. \end{cases}

23

（本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

其中 $\theta \in (0, +\infty)$ 为未知参数, $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令

T = \max\{X_1, X_2, X_3\}.

(1) 求 $T$ 的概率密度;

(2) 确定 $a$ , 使得 $E(aT) = \theta$ 。

概率论与数理统计参数估计与假设检验矩估计和最大似然估计

【答案】
(1) $g(t) = \begin{cases} \frac{9t^8}{\theta^9}, & 0 < t < \theta, \\ 0, & \text{} \end{cases}$
(2) $a = \frac{10}{9}$

【解析】
(1) 当 $0 < x \leq \theta$ 时， $X$ 的分布函数为

F(x) = \int_{0}^{x} \frac{3t^2}{\theta^3} dt = \frac{x^3}{\theta^3}.

故

F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0, \\ \frac{x^3}{\theta^3}, & 0 < x \leq \theta, \\ 1, & x > \theta. \end{cases}

设 $T$ 的分布函数为 $G(t)$ ，则当 $0 < t \leq \theta$ 时，

\begin{align*} G(t) &= P\{T \leq t\} \\ &= P\{X_1 \leq t, X_2 \leq t, X_3 \leq t\} \\ &= P\{X_1 \leq t\} P\{X_2 \leq t\} P\{X_3 \leq t\} \\ &= \frac{t^9}{\theta^9}, \end{align*}

故

G(t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0, \\ \frac{t^9}{\theta^9}, & 0 < t \leq \theta, \\ 1, & t > \theta. \end{cases}

因此 $T$ 的密度函数为

g(t) = \begin{cases} \frac{9t^8}{\theta^9}, & 0 < t < \theta, \\ 0, & \text{}. \end{cases}

(2)

E(T) = \int_0^\theta \frac{9t^8}{\theta^9} \, dt = \frac{9}{10}\theta,

由 $\theta = E(aT) = aE(T) = \frac{9}{10}a\theta$ 知 $a = \frac{10}{9}$ .