2020 年真题

选择题

1

设 $lim_{x \to \infty} \frac{f ( x ) - a}{x - a} = b$ ，则 $lim_{x \to \infty} \frac{s i n f ( x ) - s i n a}{x - a}$

正确答案：B

解析

利用中值定理可得：

x \to a lim \frac{sin f ( x ) - sin a}{x - a} = x \to a lim \frac{cos ξ [ f ( x ) - a ]}{x - a} = b x \to a lim cos ξ

其中 $ξ$ 介于 $a$ 与 $f (x)$ 之间。

由于 $lim_{x \to a} cos ξ = cos a$ 且 $f (a) = a$ ，因此：

x \to a lim \frac{sin f ( x ) - sin a}{x - a} = b cos a

2

函数 $f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} l n ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}$ 的第二类间断点的个数为

正确答案：C

【解析】题目中 $f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} l n ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}$ 的极限分析如下：

当 $x \to 0$ 时：

x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ( 1 + x )}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{e ^{- 1}}{- 2} x \to 0 lim \frac{x}{x} = \frac{1}{- 2 e},

当 $x \to 1^{+}$ 时：

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 1^{-} lim \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + 1∣}{( e - 1 ) ( 1 - 2 )} = \infty,

当 $x \to 2$ 时：

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 2 lim \frac{e ^{\frac{1}{2 - 1}} ln ∣1 + 2∣}{( e ^{2} - 1 ) ( x - 2 )} = \infty,

当 $x \to - 1$ 时：

x \to - 1 lim f (x) = x \to - 1 lim \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = \infty.

综上，正确答案为 (C)。

3

设奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上具有连续导数，则

正确答案：A

解析

对于选项 (A)，由于

F^{'} (x) = [\int_{0}^{x} [cos f (t) + f^{'} (t)] d t]^{'} = cos f (x) + f^{'} (x),

且

F^{'} (- x) = cos [f (- x)] + f^{'} (- x) = cos f (x) + f^{'} (x),

因此 $F^{'} (x)$ 为偶函数。

于是， $F (x) = \int_{0}^{x} [cos f (t) + f^{'} (t)] d t$ 为奇函数，故 (A) 正确，(B) 错误。

4

设幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 2)^{n}$ 的收敛区间为 $(- 2, 6)$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x + 1)^{2 n}$ 的收敛区间为

正确答案：C

解析

由于 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 2)^{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x + 1)^{n}$ 的收敛半径相同，因此由题设可知 $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 2)^{n}$ 的收敛区间为 $(- 2, 6)$ ，其收敛半径为 $R = 4$ 。

于是， $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x + 1)^{n}$ 的收敛区间为 $(- 1 - 4, - 1 + 4)$ ，即 $(- 5, 3)$ 。

5

设4阶矩阵 $A = (a_{ij})$ 不可逆， $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq = 0$ ， $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ , $α_{4}$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $A^{*} x = 0$ 的通解为

正确答案：C

因为 $A$ 不可逆，所以 $r (A) < 4$ 。又因为 $A_{12} \neq = 0$ ，故 $r (A^{*}) \geq 1$ ，所以

r (A) \geq n - 1 = 3, r (A) = 3, r (A^{*}) = 1, ∣ A ∣ = 0

由于 $A_{12} \neq = 0$ ，所以 $α_{1}$ , $α_{3}$ , $α_{4}$ 线性无关。 $A^{*} x = 0$ 的基础解系中有 $4 - 1 = 3$ 个无关解向量。又因为 $A^{*} A = ∣ A ∣ E = 0$ ，所以 $A$ 的列向量为 $A^{*} x = 0$ 的解。

因此， $A^{*} x = 0$ 的通解为 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ 。

6

设 $A$ 为 3 阶矩阵， $α_{1}, α_{2}$ 为 $A$ 属于特征值为 1 的线性无关的特征向量， $α_{3}$ 为 $A$ 的属于特征值 $- 1$ 的特征向量，则满足

P^{- 1} A P = 100 0 - 1 0 001

的可逆矩阵 $P$ 为

正确答案：D

解析

由于 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 线性无关，且为特征值 1 对应的特征向量，所以 1 至少为 2 重特征值。

因为 $α_{3}$ 为 -1 对应的特征向量，且 $A$ 为 3 阶矩阵，所以 $A$ 的特征值为 1, 1, -1。

在矩阵 $P^{- 1} A P$ 中，第二列为 -1 对应的特征向量，故 $P$ 的第二列应为 $α_{3}$ 的线性组合，而第一列和第三列为 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 的线性组合。因此，正确答案为 (D)。

7

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个随机事件，且 $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = 0$ ， $P (A C) = P (BC) = \frac{1}{12}$ 。则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中恰有一个事件发生的概率为

正确答案：D

解析

法1: A、B、C 中恰有一个事件发生的概率为 $P (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) + P (\overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C}) + P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C)$ 。

P (A \overline{BC}) = P (A \overline{B}) - P (A \overline{B} C) = P (A) - P (A B) - [P (A C) - P (A BC)]

P (\overline{A} B \overline{C}) = P (\overline{A} B) - P (\overline{A} BC) = P (B) - P (A B) - [P (BC) - P (BC A)]

P (\overline{A BC}) = P (\overline{B} C) - P (\overline{B} C A) = P (C) - P (CB) - [P (C A) - P (C A B)]

因为 $P (A B) = 0$ ，而 $A BC \subset A B$ ，则 $0 \leq P (A BC) \leq P (A B) = 0$ ，故 $P (A BC) = 0$ 。

将题干的已知代入以上三个式子中，得

P (A \overline{BC}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12}, P (\overline{A} B \overline{C}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12}, P (\overline{A BC}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}

故所求概率为 $\frac{2}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ ，故选 (D)。

法2: $p = P (A + B + C) - P (A B) - P (A C) - P (BC) + 2 P (A BC)$ 。

P (A B) = 0 \Rightarrow P (A BC) = 0

P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (BC) + P (A BC) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} + 0 = \frac{7}{12}

p = P (A + B + C) - P (A B) - P (A C) - P (BC) + 2 P (A BC) = \frac{7}{12} - 0 - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} + 0 = \frac{5}{12}

故选 (D)。

8

设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N (0, 0; 1, 4; - \frac{1}{2})$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $X$ 独立的是

正确答案：C

解析

由已知， $C o v (X, Y) = - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = - 1$ 。

而只有

C o v (X, X + Y) = D (X) + C o v (X, Y) = 0,

故与 $X$ 相互独立的只有 (A) 和 (C)。

又因为

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 C o v (X, Y) = 3,

所以 $\frac{3}{3} (X + Y) \sim N (0, 1)$ ，选 (C)。

填空题

9

（填空题）设 $z = arctan [x y + sin (x + y)]$ ，则 $d z ∣_{(0, π)} =$

10

（填空题）曲线 $x + y + e^{2 x y} = 0$ 在点 $(0, - 1)$ 处的切线方程为

11

（填空题）设 $Q$ 表示产量，成本 $C (Q) = 100 + 13 Q$ ，单价 $p$ ，需求量 $q (p) = \frac{800}{p + 3} - 2$ ，则工厂取得利润最大时的产量为。

12

（填空题）设平面区域 $D = {(x, y) ∣ \frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1 + x ^{2}}, 0 \leq x \leq 1}$ ，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积为。

13

（填空题）行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

14

（填空题）

随机变量 $X$ 的概率分布为

P {X = k} = \frac{1}{2 ^{k}}, k = 1, 2, 3, \dots

$Y$ 表示 $X$ 被 $3$ 除的余数，则

E (Y) =

解答题

15

（本题满分 10 分）

已知 $a, b$ 为常数， $(1 + \frac{1}{n})^{n} - e$ 与 $\frac{b}{n ^{a}}$ ，当 $n \to \infty$ 时是等价无穷小，求 $a, b$ 。

16

（本题满分 10 分）

求函数 $f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y$ 的极值。

17

（本题满分 10 分），设函数 $y = f (x)$ 满足 $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ ，且 $f (0) = 1$ ， $f^{'} (0) = - 1$ 。

（I）求 $f (x)$ 的表达式；

（II）设 $a_{n} = \int_{nπ}^{+ \infty} f (x) d x$ ，求 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 。

18

（本题满分 10 分），设 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq 0}$ ，连续函数 $f (x, y)$ 满足

f (x, y) = y 1 - x^{2} + x \iint_{D} f (x, y) d x d y

求 $\iint_{D} x f (x, y) d x d y$ 。

19

（本题满分 10 分），设函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上具有连续导数，已知 $f (0) = f (2) = 0$ ， $M = x \in [0, 2] max {∣ f (x) ∣}$ 。证明：

（I）存在 $ξ \in (0, 2)$ ，使得 $∣ f^{'} (ξ) ∣ \geq M$ ；

（II）若对任意的 $x \in (0, 2)$ ， $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ ，则 $M = 0$ 。

20

（本题满分11分）

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $(x_{1} x_{2}) = Q (y_{1} y_{2})$ 化为二次型 $g (y_{1}, y_{2}) = a y_{1}^{2} + 4 y_{1} y_{2} + b y_{2}^{2}$ ，其中 $a \geq b$ 。

（I）求 $a, b$ 的值；

（II）求正交矩阵 $Q$ 。

21

（本题满分11分）

设 $A$ 为2阶矩阵， $P = (α, Aα)$ ，其中 $α$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量。

（Ⅰ）证明： $P$ 为可逆矩阵；

（Ⅱ）若 $A^{2} α + Aα - 6 α = 0$ ，求 $P^{- 1} AP$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

22

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = {(x, y) ∣ 0 < y < 1 - x^{2}}$ 上服从均匀分布，令

Z_{1} = {1, 0, X - Y > 0, X - Y \leq 0, Z_{2} = {1, 0, X + Y > 0, X + Y \leq 0

（Ⅰ）求二维随机变量 $(Z_{1}, Z_{2})$ 的概率分布；

（Ⅱ）求 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 的相关系数。

23

（本题满分 11 分）

给定分布函数

F (t) = {1 - e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}, 0, t \geq 0, 其他,

其中 $θ$ 和 $m$ 为参数且大于零。

(I) 求概率 $P {T > t}$ 与 $P {T > s ∣ T > S}$ ，其中 $S > 0$ ， $t > 0$ ；

(II) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ 。若 $m$ 已知，求 $θ$ 的最大似然估计值 $\hat{θ}$ 。