2021 年真题

【答案】 \[\frac{\sin \frac{1}{e}}{2 e} \]

【解析】
给定导数表达式：

\[\frac{d y}{d x} = -\sin e^{-\sqrt{x}} \left( e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{-2 \sqrt{x}} \right) \]

在 $x=1$ 处的导数值为：

\[\left. \frac{d y}{d x} \right|_{x=1} = \frac{\sin \frac{1}{e}}{2 e} \]

【答案】 6

【解析】
计算以下积分：

第一步：简化第一个积分

令 $u=9-x^2$ ，则 $du=-2xdx$ ，即 $xdx=-\frac{1}{2}du$ 。积分限变为：

• 当 $x=\sqrt{5}$ ， $u=9-5=4$
• 当 $x=3$ ， $u=9-9=0$

因此，第一个积分可表示为：

第二步：简化第二个积分

令 $v=x^2-9$ ，则 $dv=2xdx$ ，即 $xdx=\frac{1}{2}dv$ 。积分限变为：

• 当 $x=3$ ， $v=9-9=0$
• 当 $x=5$ ， $v=25-9=16$

因此，第二个积分可表示为：

第三步：计算积分

计算第一个积分：

计算第二个积分：

第四步：求和

将两个积分结果相加：

因此，最终结果为：

【答案】 $\frac{\pi }{4}$

【解析】
首先，我们计算体积 $V$ ：

进行变量替换，设 $\pi x=t$ ，则 $dx=\frac{dt}{\pi }$ ，积分限变为 $0$ 到 $\pi$ ：

利用三角恒等式 ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$ ，积分变为：

拆分为两部分：

计算第一部分：

计算第二部分，利用分部积分：

因此，体积为：

【答案】

【解析】
齐次解为 $y=C$ 。设特解形式为：

将特解代入原方程：

展开并整理方程：

比较系数解得：

因此，通解为：

其中 $C$ 为任意常数。

【答案】 -5

【解析】
设行列式

将其按第一行展开，并计算各子式：

计算得

代入得

故 x^3 项的系数为 -5.

【答案】 $\frac{1}{5}$

【解析】 详解

随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布分别为：

计算得到协方差和方差：

因此，相关系数为：

【答案】 $\alpha =\frac{1}{\pi }\left(\frac{1}{e}-e\right)$

【解析】
要使极限存在，必须保证左右极限相等。

考虑 $x\to 0^{+}$ 时的极限：

再考虑 $x\to 0^{-}$ 时的极限：

令左右极限相等，得到方程：

解得：

【答案】
函数在点 $(1,0)$ 处取极小值 $2$ ，在点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 处取极小值 $\frac{1}{2}-2\ln 2$ 。

【解析】
(1) 求驻点：

即：

解得驻点 $(1,0)$ 和 $(\frac{1}{2},0)$ 。

(2) 计算二阶偏导数：

(3) 极值判定：

在驻点 $(1,0)$ 处（注：原解析中 $(-1,0)$ 应为 $(1,0)$ ）：

故 $f(x,y)$ 在 $(1,0)$ 处取极小值 2。

在驻点 $(\frac{1}{2},0)$ 处：

故 $f(x,y)$ 在 $(\frac{1}{2},0)$ 处取极小值 $\frac{1}{2}-2\ln 2$ 。

【答案】 $\frac{1}{8}{e}^2-\frac{1}{4}e+\frac{1}{8}$

【解析】
设有界区域 $D$ 为单位圆在第一象限中由 $x$ 轴和直线 $y=x$ 所截的扇形区域，其极坐标表示为 $0\le r\le 1$ ， $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 。计算二重积分

作变量代换 $u=x+y$ ， $v=x-y$ ，则雅可比行列式为 $\frac{1}{2}$ ，且 $x^2-y^2=uv$ ， $(x+y{)}^2=u^2$ 。积分变为

其中 $D^{\prime }$ 为 $D$ 在 $uv$ 平面上的对应区域，由 $v=0$ ， $v=u$ 及圆 $u^2+v^2=2$ 围成。

将 $D^{\prime }$ 按 $u$ 的范围分为两部分：

• 当 $0\le u\le 1$ 时， $0\le v\le u$ ；
• 当 $1\le u\le \sqrt{2}$ 时， $0\le v\le \sqrt{2-u^2}$ 。

则