2021 年真题

选择题

1

当 $x \to 0$ 时， $\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t$ 是 $x^{7}$ 的

正确答案：C

因为当 $x \to 0$ 时，

[\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t]^{'} = 2 x (e^{x^{6}} - 1) \sim x^{7}

所以 $\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t$ 是 $x^{7}$ 的高阶无穷小，正确答案为 C。

2

设函数

f (x) = {\frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x 0 x = 0

在 $x = 0$ 处

正确答案：D

因为 $lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1 = f (0)$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

进一步计算导数：

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{\frac{e ^{x} - 1}{x} - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

因此， $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$ ，所以正确答案是 D。

3

设函数 $f (x) = a x + b ln x$ （ $a > 0$ ）有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是

正确答案：A

令 $f (x) = a x + b ln x = 0$ ，其导数为 $f^{'} (x) = a + \frac{b}{x}$ 。令 $f^{'} (x) = 0$ ，得到驻点 $x = - \frac{b}{a}$ 。

由 $f (- \frac{b}{a}) = a \cdot (- \frac{b}{a}) + b \cdot ln (- \frac{b}{a}) < 0$ ，可得：

ln (- \frac{b}{a}) > 1

进而有：

- \frac{b}{a} > e \Rightarrow \frac{b}{a} < - e

但选项中无此结果，推测题目中函数应为 $f (x) = a x - b ln x$ （ $a > 0$ ）。

此时导数为 $f^{'} (x) = a - \frac{b}{x}$ ，驻点为 $x = \frac{b}{a}$ 。由 $f (\frac{b}{a}) = a \cdot \frac{b}{a} - b \cdot ln \frac{b}{a} < 0$ ，可得：

ln \frac{b}{a} > 1

因此：

\frac{b}{a} > e

正确答案为 A。

4

设函数 $f (x, y)$ 可微， $f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}$ ， $f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x$ ，则 $df (1, 1) =$

正确答案：C

对 $f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}$ 两边求导得：

f_{1}^{'} (x + 1, e^{x}) + e^{x} f_{2}^{'} (x + 1, e^{x}) = (x + 1)^{2} + 2 x (x + 1)

对 $f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x$ 两边求导得：

f_{1}^{'} (x, x^{2}) + 2 x f_{2}^{'} (x, x^{2}) = 4 x ln x + 2 x

将 $x = 0$ 代入第一式得：

f_{1}^{'} (1, 1) + f_{2}^{'} (1, 1) = 1

将 $x = 1$ 代入第二式得：

f_{1}^{'} (1, 1) + 2 f_{2}^{'} (1, 1) = 2

联立解得：

f_{1}^{'} (1, 1) = 0, f_{2}^{'} (1, 1) = 1

因此：

df (1, 1) = f_{1}^{'} (1, 1) d x + f_{2}^{'} (1, 1) d y = d y

正确答案为 C。

5

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为

正确答案：B

将二次型展开得：

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}

对应的矩阵为：

A = 011121110

计算特征多项式：

∣ λ E - A ∣ = λ - 1 - 1 - 1 λ - 2 - 1 - 1 - 1 λ = (λ + 1) (λ - 3) λ

令其等于零，得到特征值为 $λ = - 1, 3, 0$ 。因此，该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1，应选 B。

6

设 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 $B = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T}$ ， $β = 111$ ， $k$ 表示任意常数，则线性方程组 $B x = β$ 的通解 $x =$ （）

正确答案：D

因为 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 为4阶正交矩阵，所以向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 是一组标准正交向量组，则 $r (B) = 3$ 。

又

B α_{4} = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T} α_{4} = 0

所以齐次线性方程组 $B x = 0$ 的通解为 $k α_{4}$ 。

而

B (α_{1} + α_{2} + α_{3}) = α_{1}^{T} α_{2}^{T} α_{3}^{T} (α_{1} + α_{2} + α_{3}) = 111 = β

故线性方程组 $B x = β$ 的通解为

x = α_{1} + α_{2} + α_{3} + k α_{4}

其中 $k$ 为任意常数。故应选D。

7

设 $A = 12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5$ ， $P$ 为三阶可逆矩阵， $Q$ 为三阶矩阵，使 $PAQ$ 为对角矩阵，则 $P$ ， $Q$ 可以分别取

正确答案：C

对 $(A, E)$ 进行初等行变换：

12 - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 5 100010001 \to 100 0 - 1 2 - 1 3 - 6 1 - 2 1 010001

\to 100010 - 1 - 3 0 12 - 3 0 - 1 2 001

得到：

P = 12 - 3 0 - 1 2 001

再通过列变换得到：

Q = 100010131

故正确答案为 C。

8

设随机事件 $A$ 、 $B$ ，下列不成立的是

正确答案：D

计算条件概率：

P (A ∣ A \cup B) = \frac{P ( A )}{P ( A \cup B )}

P (\overline{A} ∣ A \cup B) = \frac{P ( A B )}{P ( A \cup B )} = \frac{P ( B ) - P ( A B )}{P ( A \cup B )}

由不等式 $P (A ∣ A \cup B) > P (\overline{A} ∣ A \cup B)$ 可得：

P (A) > P (B) - P (A B)

但无法进一步推出 $P (A) > P (B)$ ，因此正确答案为 D。

9

设 $(X_{1}, Y_{1})$ ， $(X_{2}, Y_{2})$ ，…， $(X_{n}, Y_{n})$ 为来自总体 $N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)$ 的简单随机样本， $θ = μ_{1} - μ_{2}$ ， $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ， $\overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}$ ， $\hat{θ} = \overline{X} - \overline{Y}$ ，则

正确答案：B

因为 $X$ 和 $Y$ 是二维正态分布，所以 $\overline{X}$ 与 $\overline{Y}$ 也服从二维正态分布。因此， $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从正态分布。

期望值为：

E (\hat{θ}) = E (\overline{X} - \overline{Y}) = E (\overline{X}) - E (\overline{Y}) = μ_{1} - μ_{2} = θ

方差为：

D (\hat{θ}) = D (\overline{X} - \overline{Y}) = D (\overline{X}) + D (\overline{Y}) - 2 cov (\overline{X}, \overline{Y}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n}

故正确答案为 B。

10

设总体 $X$ 的概率分布为

P {X = 1} = \frac{1 - θ}{2}, P {X = 2} = P {X = 3} = \frac{1 + θ}{4}

利用来自总体的样本值 $1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2$ ，可得 $θ$ 的最大似然估计值为

正确答案：A

似然函数为：

L (θ) = (\frac{1 - θ}{2})^{3} (\frac{1 + θ}{4})^{5}

取对数后得到：

ln L (θ) = 3 ln (\frac{1 - θ}{2}) + 5 ln (\frac{1 + θ}{4})

对 $θ$ 求导并令导数为零：

\frac{d ln L ( θ )}{d θ} = \frac{- 3}{1 - θ} + \frac{5}{1 + θ} = 0

解得：

θ = \frac{1}{4}

因此，正确答案为 A。

填空题

11

（填空题）若 $y = cos (e^{- x})$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 在 $x = 1$ 处的值。

12

（填空题）计算 $\int_{5}^{5} \frac{x}{∣ x ^{2} - 9 ∣} d x$

13

（填空题）设平面区域 $D$ 由曲线 $y = x \cdot sin π x$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）与 $x$ 轴围成，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

14

（填空题）求差分方程 $Δ y_{t} = t$ 的通解

15

（填空题）设

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x,

求展开式中 $x^{3}$ 项的系数。

16

（填空题）甲乙两个盒子中各装有 $2$ 个红球和 $2$ 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令 $X$ 和 $Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数

解答题

17

（本题满分 10 分）

已知 $x \to 0 lim [α arctan \frac{1}{x} + (1 + ∣ x ∣)^{\frac{1}{x}}]$ 存在，求 $α$ 的值。

18

（本题满分12分）

求函数

f (x, y) = 2 ln ∣ x ∣ + \frac{( x - 1 ) ^{2} + y ^{2}}{2 x ^{2}}

的极值。

19

（本题满分12分）

设有界区域 $D$ 是 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和直线 $y = x$ 以及 $x$ 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分

\iint_{D} e^{(x + y)^{2}} (x^{2} - y^{2}) d x d y .

20

（本题满分 12 分）

设 $n$ 为正整数， $y = y_{n} (x)$ 是微分方程

x y^{'} - (n + 1) y = 0

满足条件 $y_{n} (1) = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ 的解。

求 $y_{n} (x)$ ；
求级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n} (x)$ 的收敛域及和函数。

21

(本题满分 12 分)

设矩阵 $A = 211 12 a 00 b$ 仅有两个不同的特征值。若 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a$ ， $b$ 的值，并求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。

22

本小题满分12分

在区间 $(0, 2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段长度记为 $X$ ，较长的一段长度记为 $Y$ ，令 $Z = \frac{Y}{X}$ 。

求 $X$ 的概率密度；
求 $Z$ 的概率密度；
求 $E (\frac{X}{Y})$