2024 年真题

选择题

1

已知函数 $f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + n x ^{2 n}}$ ，则 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处和 $x = 1$ 处的连续性为（　　）

正确答案：D

【解析】

f (x) = {x + 1, 0, ∣ x ∣ < 1, 其他

由于

x \to 1^{-} lim f (x) = 2, x \to 1^{+} lim f (x) = 0,

所以在 $x = 1$ 处不连续。

x \to - 1^{-} lim f (x) = 0, x \to - 1^{+} lim f (x) = 0,

所以在 $x = - 1$ 处连续。

故选 (D)。

2

设 $I = \int_{a}^{a + kπ} ∣ sin x ∣ d x$ ，其中 $k$ 为整数。则 $I$ 的值（）。

正确答案：B

【解析】由于 $∣ sin x ∣$ 是周期为 $2 π$ 的周期函数，因此

I = \int_{a}^{a + kπ} ∣ sin x ∣ d x = \int_{0}^{kπ} ∣ sin x ∣ d x = k \int_{0}^{π} sin x d x = 2 k,

故选 B。

3

设 $f (x, y)$ 是连续函数，则

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y =

正确答案：A

【解析】
原积分区域为

D = {(x, y) \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}, sin x \leq y \leq 1} .

将其改写为 $y$ 型区域：

D = {(x, y) \frac{1}{2} \leq y \leq 1, \frac{π}{6} \leq x \leq arcsin y} .

因此

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y = \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x .

故选 A。

4

已知幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数为 $ln (2 + x)$ ，则 $\sum_{n = 0}^{\infty} n a_{2 n} =$ ( )

正确答案：A

【解析】将 $ln (2 + x)$ 展开可得

ln (2 + x) = ln 2 + ln (1 + \frac{x}{2}) = ln 2 + n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} (\frac{x}{2})^{n}

于是 $a_{0} = ln 2$ ， $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 ^{n} n}$ ，所以

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} = - n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{2 n + 1}} = - \frac{1}{6}

选 A。

5

设二次型在正交变换下的标准型为 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2}$ ，则二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 的行列式与迹分别为（）

正确答案：C

矩阵 $A$ 的特征值为 $1$ ， $- 2$ ， $3$ 。
因此行列式为

∣ A ∣ = 1 \times (- 2) \times 3 = - 6,

迹为

tr (A) = 1 + (- 2) + 3 = 2.

故答案为选项 C。

6

设矩阵 $P = 101010001$ ，且 $P^{T} A P = a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c$ ，则矩阵 $A$ 为（）

正确答案：C

A = (P^{T})^{- 1} a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c (P^{2})^{- 1} = 100010 - 1 01 a + 2 c 0 2 c 0 b 0 c 0 c 10 - 1 010001 = a 00 0 b 0 00 c,

选 C。

7

设矩阵 $A = a + 1 a 1 b \frac{b}{2} 1 312$ ， $M_{ij}$ 为 $A$ 的代数余子式，且 $∣ A ∣ = - \frac{1}{2}$ ， $- M_{21} + M_{22} - M_{23} = 0$ ，则（）

正确答案：B

【解析】由 $- M_{21} + M_{22} - M_{23} = 0$ 可得

a + 1 11 b 11 312 = a - b + 1 = 0

因此

∣ A ∣ = a + 1 a 1 a + 1 \frac{a + 1}{2} 1 312 = \frac{( 1 - a ) ( 2 a - 1 )}{2} = - \frac{1}{2}

解得 $a = 0$ 或 $a = \frac{3}{2}$ 。

选 B。

8

设随机变量 $X$ 的概率密度为

f (x) = {6 x (1 - x), 0, 0 < x < 1 其他

则

E (X - EX)^{3} = ()

正确答案：B

【解析】
$EX = \int_{0}^{1} x \cdot 6 x (1 - x) d x = \frac{1}{2}$ ，
则

E (X - EX)^{3} = \int_{0}^{1} (x - \frac{1}{2})^{3} \cdot 6 x (1 - x) d x = 0,

选 B。

9

设随机变量 $X$ 、 $Y$ 相互独立， $X \sim N (0, 2)$ ， $Y \sim N (- 1, 1)$ ，设 $p_{1} = P {2 X > Y}$ ， $p_{2} = P {X - 2 Y > 1}$ ，则（）

正确答案：B

【解析】

p_{1} p_{2} = P (2 X > Y) = P (Y - 2 X < 0) = P (\frac{Y - 2 X + 1}{3} < \frac{1}{3}) = Φ (\frac{1}{3}), = P (X - 2 Y > 1) = P (\frac{X - 2 Y - 2}{6} > - \frac{1}{6}) = 1 - Φ (- \frac{1}{6}) = Φ (\frac{1}{6}),

于是 $p_{2} > p_{1} > \frac{1}{2}$ ，选 B。

10

设随机变量 $X$ 、 $Y$ 相互独立，且均服从参数为 $λ$ 的指数分布，令 $Z = ∣ X - Y ∣$ ，则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是（　　）

正确答案：D

【解析】先求 $Z$ 的分布函数 $F_{Z} (z)$ 。当 $z \leq 0$ 时，显然 $F_{Z} (z) = 0$ 。当 $z > 0$ 时，

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (∣ X - Y ∣ \leq z) = 1 - P (∣ X - Y ∣ > z) = 1 - 2 \int_{z}^{+ \infty} d x \int_{0}^{x - z} λ e^{- λ x} \cdot λ e^{- λ y} d y = 1 - 2 \int_{z}^{+ \infty} λ e^{- λ x} (1 - e^{λ z - λ x}) d x = 1 - e^{- λ z},

这说明 $Z$ 服从参数为 $λ$ 的指数分布，选 D。

填空题

11

（填空题）当 $x \to 0$ 时， $\int_{0}^{x} \frac{( 1 + t ^{2} ) s i n t ^{2}}{1 + c o s ^{2} t} d t$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $k =$ 。

12

（填空题）

\int_{2}^{+ \infty} \frac{5}{x ^{4} + 3 x ^{2} - 4} d x =

13

（填空题）函数 $f (x, y) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 y^{4} + 12 x + 24 y$ 的极值点为

14

（填空题）设某产品的价格函数为

p = {25 - 0.25 Q, 35 - 0.75 Q, Q \leq 20 Q > 20

其中 $P$ 为价格， $Q$ 为销量，成本函数为 $C = 150 + 5 Q + 0.25 Q^{2}$ ，求经营该产品可获得的最大利润为 ______。

15

（填空题）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $r (2 E - A) = 1$ ， $r (A + E) = 2$ ，求 $∣ A^{*} ∣ =$

16

（填空题）设事件 $A$ 每次成功的概率为 $P$ ，在三次独立重复试验中，在事件 $A$ 至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$ ，则 $P =$

解答题

17

（本题满分 10 分）

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y = \frac{1}{3}$ 、 $x y = 3$ 与直线 $y = \frac{1}{3} x$ 、 $y = 3 x$ 围成，计算

\iint_{D} (1 + x - y) d x d y .

18

（本题满分 12 分）

设函数 $z = z (x, y)$ 由方程

z + e^{x} - y ln (1 + z^{2}) = 0

确定，求

(\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}})_{(0, 0)} .

19

（本题满分 12 分）

设 $t > 0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = x e^{- 2 x}$ 与直线 $x = t$ 、 $x = 2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最大值。

20

（本题满分 12 分）

设函数 $f (x)$ 具有二阶导数，且 $f^{'} (0) = f^{'} (1)$ ， $∣ f^{''} (x) ∣ \leq 1$ ，证明：

(1)

当 $x \in (0, 1)$ 时，

∣ f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x ∣ \leq \frac{x ( 1 - x )}{2} .

(2)

\int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2} \leq \frac{1}{12} .

21

（本题满分 12 分）

设矩阵

A = 112 - 1 11 002 - 1 36, B = 112 0 - 1 - 3 1 a 2 2 a - 1 - 2

，

且向量 $α = 023, β = 10 - 1$ 。

(1) 证明：方程组 $A x = α$ 的解均为方程组 $B x = β$ 的解；

(2) 若方程组 $A x = α$ 与方程组 $B x = β$ 不同解，求 $a$ 的值。

22

（本题满分 12 分）

设总体 $X$ 服从 $[0, θ]$ 上的均匀分布，其中 $θ \in (0, + \infty)$ 为未知参数。 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记

X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}, T_{c} = c X_{(n)}

(1) 求 $c$ ，使得 $E (T_{c}) = θ$ ；

(2) 记 $h (c) = E [(T_{c} - θ)^{2}]$ ，求 $c$ 使得 $h (c)$ 最小。