2026 年真题

选择题

选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1

曲线 $y = x e^{\frac{1}{x}}$ （）

高等数学一元函数微分学曲线的凹凸性、拐点及渐近线

正确答案：C

【解析】
函数定义域为 $x \neq = 0$ 。

对于水平渐近线，考虑 $x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ ：

当 $x \to \infty$ 时， $e^{\frac{1}{x}} \to 1$ ，故 $y \sim x \to \infty$ ；
当 $x \to - \infty$ 时，同样 $e^{\frac{1}{x}} \to 1$ ， $y \sim x \to - \infty$ 。

因此无水平渐近线。

对于铅直渐近线，考虑 $x \to 0$ ：

当 $x \to 0^{+}$ 时，令 $t = \frac{1}{x} \to + \infty$ ，则 $y = \frac{e ^{t}}{t} \to + \infty$ ；
当 $x \to 0^{-}$ 时，令 $t = \frac{1}{x} \to - \infty$ ，则 $y = \frac{e ^{t}}{t} \to 0$ 。

由于在 $x = 0$ 处有一侧极限为无穷，故 $x = 0$ 为铅直渐近线。

综上，曲线无水平渐近线，有一条铅直渐近线 $x = 0$ 。

2

同数学 2 第 3 题

3

同数学 2 第 6 题

4

设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $p (t)$ ，某机构持有该证券的份额为 $q (t)$ ，若该机构在 $[0, T]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 (　　)

高等数学一元函数积分学定积分的应用

正确答案：D

【解析】 平均购入价格定义为总购买金额除以总购买份额。在连续购买过程中，时刻 $t$ 的购买单价为 $p (t)$ ，购买份额的微元为 $q^{'} (t) d t$ ，因此购买金额的微元为 $p (t) q^{'} (t) d t$ 。总购买金额为积分 $\int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t$ ，总购买份额为区间 $[0, T]$ 内份额的增量 $q (T) - q (0)$ 。故平均购入价格为

\frac{\int _{0}^{T} p ( t ) q ^{'} ( t ) d t}{q ( T ) - q ( 0 )}

对应选项4。其他选项中，选项1和2未考虑购买份额的权重，选项3除以时间 $T$ 而非总份额，均不符合平均购入价格的定义。

5

同数学 2 第 9 题

6

设 $A$ 为 3 阶非零矩阵， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $A^{*} = - 2 A$ ，则 $A^{2} =$ （　　）

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

正确答案：D

【解析】 由伴随矩阵性质， $A A^{*} = (det A) I$ 。将 $A^{*} = - 2 A$ 代入得

A (- 2 A) = - 2 A^{2} = (det A) I,

故

A^{2} = - \frac{1}{2} (det A) I .

对 $A^{*} = - 2 A$ 两边取行列式，有

det (A^{*}) = det (- 2 A) .

对于 3 阶矩阵， $det (A^{*}) = (det A)^{2}$ ，且 $det (- 2 A) = (- 2)^{3} det A = - 8 det A$ ，因此

(det A)^{2} = - 8 det A,

即

det A (det A + 8) = 0.

因 $A$ 非零且由选项知 $A^{2}$ 非零，故 $det A \neq = 0$ ，解得

det A = - 8.

代入 $A^{2} = - \frac{1}{2} (det A) I$ 得

A^{2} = - \frac{1}{2} \times (- 8) I = 4 I,

即对角矩阵

400040004,

对应选项 D。

7

同数学 2 第 10 题

8

设随机变量 $x$ 和 $y$ 独立同分布， $x$ 概率密度为

f (x) = {\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}, 0, x > 0 x \leq 0,

则 $P {X Y \leq 1} =$ （　　）

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

正确答案：B

【解析】
由于 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，其联合概率密度函数为

f (x) f (y) = \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} \cdot \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}}, x > 0, y > 0.

计算概率

P (X Y \leq 1) = x > 0, y > 0, x y \leq 1 \iint f (x) f (y) d x d y .

先对 $y$ 积分：对固定的 $x > 0$ ，当 $0 < y \leq 1/ x$ 时，

\int_{0}^{1/ x} \frac{1}{( 1 + y ) ^{2}} d y = - \frac{1}{1 + y}_{0}^{1/ x} = 1 - \frac{1}{1 + 1/ x} = \frac{1}{1 + x} .

再对 $x$ 积分：

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{( 1 + x ) ^{3}} d x = - \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}}_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} .

因此所求概率为 $\frac{1}{2}$ ，对应选项 B。

9

设随机变量 $X \sim N (0, 1)$ ，随机变量 $Y \sim B (2, \frac{1}{2})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $X Y$ 与 $X + Y$ 的相关系数为（　　）

概率论与数理统计随机变量的数字特征协方差与相关系数

正确答案：C

【解析】 首先，由 $X \sim N (0, 1)$ 得 $E [X] = 0$ ， $E [X^{2}] = 1$ ；由 $Y \sim B (2, \frac{1}{2})$ 得 $E [Y] = 1$ ， $E [Y^{2}] = \frac{3}{2}$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立。相关系数