卷 2

【答案】 $2 - 6e^{-2}$

【解析】 给定积分 $\int_{-2}^2 (|x|+x)e^{-|x|} \, dx$ 。由于被积函数中包含绝对值，考虑分段计算。当 $x \in [-2, 0]$ 时， $|x| = -x$ ，因此 $|x| + x = -x + x = 0$ ，被积函数为 0，积分值为 0。当 $x \in [0, 2]$ 时， $|x| = x$ ，因此 $|x| + x = x + x = 2x$ ，且 $e^{-|x|} = e^{-x}$ ，被积函数为 $2x e^{-x}$ 。因此，积分简化为：

计算积分 $\int_0^2 2x e^{-x} \, dx$ 。使用分部积分法，设 $u = x$ ， $dv = e^{-x} \, dx$ ，则 $du = dx$ ， $v = -e^{-x}$ 。有：

代入积分上下限：

因此，

故原积分的值为 $2 - 6e^{-2}$ 。

【答案】

【解析】 设 $z = f(u, x, y)$ ，其中 $u = x e^y$ 。首先求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ：

然后求混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)$ ：

计算各项：

其中

所以

另外，

将以上结果合并：

整理得：

【答案】
$x_1 + x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。

【解析】
假设 $x_1 + x_2$ 是 $A$ 的特征向量，则存在标量 $\lambda$ 使得 $A(x_1 + x_2) = \lambda(x_1 + x_2)$ 。由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是特征向量，有 $Ax_1 = \lambda_1 x_1$ 和 $Ax_2 = \lambda_2 x_2$ ，因此 $A(x_1 + x_2) = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$ 。代入得 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda x_1 + \lambda x_2$ ，即 $(\lambda_1 - \lambda)x_1 + (\lambda_2 - \lambda)x_2 = 0$ 。因为 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 线性无关，因此 $\lambda_1 - \lambda = 0$ 且 $\lambda_2 - \lambda = 0$ ，即 $\lambda_1 = \lambda_2$ ，与已知矛盾。故假设不成立， $x_1 + x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。