卷 5

【答案】
错误

【解析】
函数在区间内严格单调增加，仅表明对于任意两点 $x_1<x_2$ ，有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，但这并不保证函数在每一点处都可导，或者导数均大于零。例如，函数 $f(x)=x^3$ 在区间 $(-1,1)$ 内严格单调增加，但在点 $x=0$ 处，其导数 $f^{\prime }(0)=0$ ，而不满足 $f^{\prime }(x)>0$ 。因此，原说法错误。

【答案】 错误

对于 $n$ 阶方阵 $A$ ，行列式 $|kA|$ 的计算公式为

而不是 $k|A|$ 。

这是因为当矩阵 $A$ 的每个元素都乘以常数 $k$ 时，行列式作为多重线性函数，会因每一行都乘以 $k$ 而整体乘以 $k$ 的 $n$ 次方。

例如，当 $n=2$ 时，取 $A$ 为单位矩阵 $I$ ，则

而 $k|I|=k$ ，两者不相等，除非 $n=1$ 。

因此，原命题不正确。

【答案】
0

【解析】
当 $x\to +\infty$ 时，分子 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\to \ln 1=0$ ，分母 $\arctan x\to \frac{\pi }{2}\ne 0$ ，因此极限为 $0$ 。

【答案】
1

【解析】
考虑定积分 ${\int }_{\frac{1}{2}}^1{e}^{\sqrt{2x-1}}dx$ 。令 $t=\sqrt{2x-1}$ ，则 $t^2=2x-1$ ，即 $x=\frac{t^2+1}{2}$ ，微分得 $dx=tdt$ 。积分限变化：当 $x=\frac{1}{2}$ 时， $t=0$ ；当 $x=1$ 时， $t=1$ 。代入后积分变为 ${\int }_0^{1}t{e}^{t}dt$ 。
使用分部积分法计算 $\int t{e}^{t}dt$ ，令 $u=t$ ， $dv=e^{t}dt$ ，则 $du=dt$ ， $v=e^t$ 。有：

代入定积分上下限：

因此，积分结果为 1。

【答案】

【解析】 首先，分母 $x^4+2x^2+5$ 可化为完全平方形式： $x^4+2x^2+5=(x^2+1{)}^2+4$ 。于是积分变为：

令 $t=x^2$ ，则 $dt=2xdx$ ，即 $xdx=\frac{dt}{2}$ 。代入得：

再令 $u=t+1$ ，则 $du=dt$ ，积分变为：

回代 $u=t+1$ 和 $t=x^2$ ，得：

【答案】
(1) $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$
(2) $t=0$

【解析】

1. 建立面积函数 $S(t)$

从图中可以看出，水平线在 $x=t$ 处与曲线 $y=x^2$ 相交，因此该水平线的方程为 $y=t^2$ 。

• 面积 $S_1$ ：它是从 $x=0$ 到 $x=t$ 之间，由直线 $y=t^2$ 和曲线 $y=x^2$ 围成的面积。

  $$S_1={\int }_0^t(t^2-x^2)dx={\left[t^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^t=t^3-\frac{1}{3}{t}^3=\frac{2}{3}{t}^3$$

• 面积 $S_2$ ：它是从 $x=t$ 到 $x=1$ 之间，由曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=t^2$ 围成的面积。

  $$S_2={\int }_t^1(x^2-t^2)dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3-t^{2}x\right]}_t^1=\left(\frac{1}{3}-t^2\right)-\left(\frac{1}{3}{t}^3-t^3\right)=\frac{1}{3}-t^2+\frac{2}{3}{t}^3$$

• 总面积 $S(t)$ ：

  $$S(t)=S_1+S_2=\frac{2}{3}{t}^3+\frac{1}{3}-t^2+\frac{2}{3}{t}^3=\frac{4}{3}{t}^3-t^2+\frac{1}{3}$$

  其中定义域为 $t\in [0,1]$ 。

2. 求解最值

为了找到最大值和最小值，我们对 $S(t)$ 求导：

令 $S^{\prime }(t)=0$ ，得到驻点：l $t=0$ 或 $t=\frac{1}{2}$ 。

(1) 何时面积 $S$ 最小？

我们需要比较驻点和端点的函数值：

• 当 $t=0$ 时： $S(0)=\frac{1}{3}\approx 0.333$
• 当 $t=\frac{1}{2}$ 时： $S(\frac{1}{2})=\frac{4}{3}(\frac{1}{8})-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{2-3+4}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0.25$
• 当 $t=1$ 时： $S(1)=\frac{4}{3}-1+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0.667$

结论： 当 $t=\frac{1}{2}$ 时，面积之和 $S$ 最小，最小值为 $\frac{1}{4}$ 。

(2) 何时面积 $S$ 最大？

比较上述计算结果：

• $S(0)=\frac{1}{3}$
• $S(1)=\frac{2}{3}$

结论： 当 $t=1$ 时，面积之和 $S$ 最大，最大值为 $\frac{2}{3}$ 。

总结：

• $S$ 最小： $t=\frac{1}{2}$
• $S$ 最大： $t=1$

【答案】
(1) 边际成本： $3+x$
(2) 边际效益： $\frac{50}{\sqrt{x}}$
(3) 边际利润： $\frac{50}{\sqrt{x}}-3-x$
(4) 收益的价格弹性： $-1$

【解析】
(1) 边际成本是成本函数对产量 $x$ 的导数。
成本函数为

求导得

因此边际成本为 $3+x$ 。

(2) 边际效益即边际收益，是收益函数对产量 $x$ 的导数。
收益函数 $R(x)=p\cdot x$ ，代入需求函数

得

求导得

因此边际收益为 $\frac{50}{\sqrt{x}}$ 。

(3) 边际利润是利润函数对产量 $x$ 的导数。
利润函数

求导得

因此边际利润为 $\frac{50}{\sqrt{x}}-3-x$ 。

(4) 收益的价格弹性定义为

首先，从需求函数

解出

收益函数

求导得

代入弹性公式：

因此收益的价格弹性为 $-1$ 。

【答案】
(1) $X$ 的分布函数为：

(2) $X$ 的数学期望为 $2.3$ ，方差为 $0.61$ 。

【解析】
(1) 分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 。由于 $X$ 是离散型随机变量，取值于 $\{1,2,3\}$ ，因此：

• 当 $x<1$ 时， $P\{X\le x\}=0$ ；
• 当 $1\le x<2$ 时， $P\{X\le x\}=P\{X=1\}=0.2$ ；
• 当 $2\le x<3$ 时， $P\{X\le x\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}=0.2+0.3=0.5$ ；
• 当 $x\ge 3$ 时， $P\{X\le x\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}=0.2+0.3+0.5=1.0$ 。

故得分布函数如上。

(2) 数学期望

方差

其中

故