令 $u = \frac{π x}{2 y}$ ，则 $d u = \frac{π}{2 y} d x$ ，即 $d x = \frac{2 y}{π} d u$ 。积分限变为：当 $x = y$ 时， $u = \frac{π}{2}$ ；当 $x = y^{2}$ 时， $u = \frac{π y}{2}$ 。于是：

\int_{y}^{y^{2}} sin \frac{π x}{2 y} d x = \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{π y}{2}} sin u \cdot \frac{2 y}{π} d u = \frac{2 y}{π} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{π y}{2}} sin u d u = \frac{2 y}{π} [- cos u]_{\frac{π}{2}}^{\frac{π y}{2}} = \frac{2 y}{π} (- cos (\frac{π y}{2}) + cos (\frac{π}{2})) = - \frac{2 y}{π} cos (\frac{π y}{2})

代入外层积分：

\int_{1}^{2} (- \frac{2 y}{π} cos (\frac{π y}{2})) d y = - \frac{2}{π} \int_{1}^{2} y cos (\frac{π y}{2}) d y

计算积分 $J = \int_{1}^{2} y cos (\frac{π y}{2}) d y$ 。使用分部积分法，令 $u = y$ ， $d v = cos (\frac{π y}{2}) d y$ ，则 $d u = d y$ ， $v = \frac{2}{π} sin (\frac{π y}{2})$ 。于是：

J = [y \cdot \frac{2}{π} sin (\frac{π y}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{π} sin (\frac{π y}{2}) d y

计算第一项：

当 $y = 2$ 时， $2 \cdot \frac{2}{π} sin (π) = 0$ ；
当 $y = 1$ 时， $1 \cdot \frac{2}{π} sin (\frac{π}{2}) = \frac{2}{π}$ 。所以第一项为 $0 - \frac{2}{π} = - \frac{2}{π}$ 。计算第二项： $- \int_{1}^{2} \frac{2}{π} sin (\frac{π y}{2}) d y = - \frac{2}{π} \int_{1}^{2} sin (\frac{π y}{2}) d y = - \frac{2}{π} [- \frac{2}{π} cos (\frac{π y}{2})]_{1}^{2} = \frac{4}{π ^{2}} [cos (\frac{π y}{2})]_{1}^{2}$ 其中：
当 $y = 2$ 时， $cos (π) = - 1$ ；
当 $y = 1$ 时， $cos (\frac{π}{2}) = 0$ 。所以第二项为 $\frac{4}{π ^{2}} (- 1 - 0) = - \frac{4}{π ^{2}}$ 。因此： $J = - \frac{2}{π} - \frac{4}{π ^{2}}$ 代回： $- \frac{2}{π} J = - \frac{2}{π} (- \frac{2}{π} - \frac{4}{π ^{2}}) = \frac{2}{π} (\frac{2}{π} + \frac{4}{π ^{2}}) = \frac{4}{π ^{2}} + \frac{8}{π ^{3}} = \frac{4 π}{π ^{3}} + \frac{8}{π ^{3}} = \frac{4 ( π + 2 )}{π ^{3}}$ 故原积分为 $\frac{4 ( π + 2 )}{π ^{3}}$ 。

15

求椭球面 $x^{2} + x y^{2} + 3 z^{2} = 21$ 上某点 $M$ 处的切平面 $Π$ 的方程，使平面 $Π$ 过已知直线 $l : \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{2 z - 1}{- 2}$ ．

高等数学多元函数微分学多元函数微分学的几何应用

【答案】 切平面方程为 $x + 2 z = 7$ 或 $3 x + 4 y + 10 z = 35$ 。

【解析】 假设椭球面方程为 $x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} = 21$ （原方程 $x^{2} + x y^{2} + 3 z^{2} = 21$ 可能为笔误）。设点 $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 在椭球面上，则切平面方程为 $x_{0} x + y_{0} y + 3 z_{0} z = 21$ 。
直线 $l$ 的参数方程为 $x = 6 + 2 t$ , $y = 3 + t$ , $z = \frac{1}{2} - t$ 。
将直线参数方程代入切平面方程：

x_{0} (6 + 2 t) + y_{0} (3 + t) + 3 z_{0} (\frac{1}{2} - t) = 21

整理得：

(2 x_{0} + y_{0} - 3 z_{0}) t + (6 x_{0} + 3 y_{0} + \frac{3}{2} z_{0}) = 21

由于该方程对任意 $t$ 成立，系数需为零：

2 x_{0} + y_{0} - 3 z_{0} = 0 (1)

6 x_{0} + 3 y_{0} + \frac{3}{2} z_{0} = 21 (2)

点 $M$ 在椭球面上：

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 3 z_{0}^{2} = 21 (3)

由方程 (1) 得 $y_{0} = 3 z_{0} - 2 x_{0}$ ，代入方程 (2)：

6 x_{0} + 3 (3 z_{0} - 2 x_{0}) + \frac{3}{2} z_{0} = 21

简化得：

9 z_{0} + \frac{3}{2} z_{0} = 21 ⟹ \frac{21}{2} z_{0} = 21 ⟹ z_{0} = 2

代入 $y_{0} = 3 z_{0} - 2 x_{0}$ 得 $y_{0} = 6 - 2 x_{0}$ ，代入方程 (3)：

x_{0}^{2} + (6 - 2 x_{0})^{2} + 3 \cdot 2^{2} = 21

x_{0}^{2} + 36 - 24 x_{0} + 4 x_{0}^{2} + 12 = 21

5 x_{0}^{2} - 24 x_{0} + 48 = 21

5 x_{0}^{2} - 24 x_{0} + 27 = 0

解得 $x_{0} = 3$ 或 $x_{0} = \frac{9}{5}$ 。
对应 $y_{0} = 0$ 或 $y_{0} = \frac{12}{5}$ 。
因此点 $M$ 为 $(3, 0, 2)$ 或 $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}, 2)$ 。
切平面方程：

对于 $M (3, 0, 2)$ ，切平面为 $3 x + 0 \cdot y + 6 z = 21$ ，即 $x + 2 z = 7$ 。
对于 $M (\frac{9}{5}, \frac{12}{5}, 2)$ ，切平面为 $\frac{9}{5} x + \frac{12}{5} y + 6 z = 21$ ，即 $9 x + 12 y + 30 z = 105$ ，简化得 $3 x + 4 y + 10 z = 35$ 。
验证：两条切平面均过直线 $l$ 。

解答题

16

同试卷 1 第 14 题

17

同试卷 1 第 15 题

18

同试卷 1 第 16 题

19

同试卷 1 第 17 题

20

同试卷 1 第 18 题