卷 3

【答案】
$e^2$

【解析】
函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，特别是在 $x=0$ 处连续。因此，需要满足：

计算左极限：

计算右极限：

函数在 $x=0$ 处的值为：

由连续性条件，有：

因此， $a=e^2$ 。

【答案】 1

【解析】
考虑极限 ${\lim }_{x\to +0}{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\tan x}$ 。
设 $y={\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\tan x}$ ，则 $\ln y=\tan x\cdot \ln \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=-\frac{1}{2}\tan x\ln x$ 。
因此， ${\lim }_{x\to +0}\ln y={\lim }_{x\to +0}\left(-\frac{1}{2}\tan x\ln x\right)=-\frac{1}{2}{\lim }_{x\to +0}\left(\tan x\ln x\right)$ 。
当 $x\to 0^{+}$ 时， $\tan x\sim x$ ，故 ${\lim }_{x\to +0}\tan x\ln x={\lim }_{x\to +0}x\ln x=0$ 。
所以， ${\lim }_{x\to +0}\ln y=-\frac{1}{2}\times 0=0$ ，即 ${\lim }_{x\to +0}y=e^0=1$ 。
因此，原极限为 1。

【答案】 $2e^2+2$

【解析】
计算定积分 ${\int }_0^4{e}^{\sqrt{x}}dx$ 。
令 $u=\sqrt{x}$ ，则 $x=u^2$ ， $dx=2udu$ 。
当 $x=0$ 时， $u=0$ ；当 $x=4$ 时， $u=2$ 。
积分变为：

使用分部积分法计算 $\int u{e}^{u}du$ ：
令 $f=u$ ， $dg=e^{u}du$ ，则 $df=du$ ， $g=e^u$ 。

代入上下限：

因此，

故原积分的值为 $2e^2+2$ 。

【答案】
$y^{\prime }{|}_{x=0}=1$ ， $y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=2$

【解析】
已知方程 $y=1+x{e}^{xy}$ 。
当 $x=0$ 时，代入原方程得 $y=1$ 。

对原方程两边关于 $x$ 求导：

代入 $x=0$ ， $y=1$ ：

故 $y^{\prime }{|}_{x=0}=1$ 。

对一阶导数方程两边再关于 $x$ 求导：

代入 $x=0$ ， $y=1$ ， $y^{\prime }=1$ ：

故 $y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=2$ 。

【答案】

其中 $C$ 为任意常数。

【解析】 给定微分方程 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$ ，这是一阶线性微分方程，标准形式为 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ ，其中 $P(x)=\frac{1}{x}$ ， $Q(x)=\frac{1}{x(x^2+1)}$ 。
通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$ 。
首先计算 $\int P(x)dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln x$ （假设 $x>0$ ）。
则 $e^{\int P(x)dx}=e^{\ln x}=x$ ，
$e^{-\int P(x)dx}=e^{-\ln x}=\frac{1}{x}$ 。
然后计算 $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int \frac{1}{x(x^2+1)}\cdot xdx=\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x$ 。
代入通解公式，得 $y=\frac{1}{x}(\arctan x+C)$ ，即 $y=\frac{\arctan x}{x}+\frac{C}{x}$ 。
验证：代入原方程满足，故为通解。

【答案】 单调增区间： $(-\infty ,1)$
单调减区间： $(1,+\infty )$
极值点： $x=1$
极值： $y=2$
凹 $\cup$ 区间： $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$
凸 $\cap$ 区间： $(0,2)$
拐点： $(0,\frac{3}{2})$ , $(2,\frac{3}{2})$
渐近线： $y=0$

其图形如下：

【解析】 函数 $y=\frac{6}{x^2-2x+4}$ 的分母 $x^2-2x+4$ 的判别式为负，始终为正，故函数定义域为全体实数，且值域为正。
一阶导数为 $f^{\prime }(x)=-\frac{12(x-1)}{(x^2-2x+4{)}^2}$ ，由分母恒正，符号取决于分子。当 $x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$ ，函数单调递增；当 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$ ，函数单调递减。 $x=1$ 为极值点，代入函数得极值 $y=2$ 。
二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{36x(x-2)}{(x^2-2x+4{)}^3}$ ，由分母恒正，符号取决于分子。当 $x<0$ 或 $x>2$ 时 $f^{\prime \prime }(x)>0$ ，函数凹向上；当 $0<x<2$ 时 $f^{\prime \prime }(x)<0$ ，函数凸向下。拐点为 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点，即 $x=0$ 和 $x=2$ ，代入函数得 $y=\frac{3}{2}$ 。
当 $x\to \pm \infty$ 时， $y\to 0$ ，故水平渐近线为 $y=0$ 。无垂直渐近线和斜渐近线。

【答案】
两段铁丝的长度分别为 $\frac{4a}{\pi +4}$ 和 $\frac{\pi a}{\pi +4}$ 。

【解析】
设用于围成正方形的铁丝长度为 $x$ ，则用于围成圆形的铁丝长度为 $a-x$ 。

正方形部分

• 周长： $x$
• 边长： $\frac{x}{4}$
• 面积： ${\left(\frac{x}{4}\right)}^2=\frac{x^2}{16}$

圆形部分

• 周长： $a-x$
• 半径： $\frac{a-x}{2\pi }$
• 面积： $\pi {\left(\frac{a-x}{2\pi }\right)}^2=\frac{(a-x{)}^2}{4\pi }$

总面积函数为

为求 $S$ 的最小值，对 $S$ 求导：

令 $S^{\prime }=0$ ：

两边乘以 $8\cdot 2\pi$ 得：

另一段长度为

由于 $S$ 是 $x$ 的二次函数且二次项系数为正，该临界点对应最小值。

结论：当两段铁丝长度分别为

时，正方形与圆形的面积之和最小。

【答案】

【解析】 由于被积函数包含绝对值，需要根据 $x$ 的值分段计算积分。
当 $x\le 0$ 时，在区间 $[-1,x]$ 上， $t\le 0$ ，因此 $|t|=-t$ ，被积函数为 $1-(-t)=1+t$ 。积分计算如下：

当 $x>0$ 时，积分区间跨越 $t=0$ ，需分成两部分：从 $-1$ 到 $0$ 和从 $0$ 到 $x$ 。
在 $[-1,0]$ 上， $|t|=-t$ ，被积函数为 $1+t$ ，积分计算如下：

在 $[0,x]$ 上， $|t|=t$ ，被积函数为 $1-t$ ，积分计算如下：

两部分相加得：

因此，积分结果如上所述的分段函数。

【答案】
(1) $f^{\prime }(0)$
(2) 证明见解析。

【解析】
(Ⅰ) 可以用积分中值定理和微分中值定理。这里用洛必达法则直接计算：

(Ⅱ) 可以分别估计两项。这里利用积分的绝对值不等式来估计：