卷 5

【答案】 $\frac{4}{\pi }$

【解析】 该极限为 $0\times \infty$ 型不定式。将其转化为 $\frac{0}{0}$ 形式：

应用洛必达法则，分子导数为 $-2x$ ，分母导数为 $-\frac{\pi }{2}{\csc }^2\frac{\pi x}{2}$ 。因此，极限化为

代入 $x=1$ ，得

或者，令 $t=x-1$ ，则原极限化为

当 $t\to 0$ 时， $\cot \frac{\pi t}{2}\sim \frac{2}{\pi t}$ ，因此

忽略高阶项 $t^2$ ，结果相同。

【答案】

【解析】 给定 $u=e^{\frac{x}{y}}$ ，首先求一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 。
令 $v=\frac{x}{y}$ ，则 $u=e^v$ ，所以

然后求二阶混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$ ，即

这是一个乘积形式，令 $w=-\frac{x}{y^2}$ , $z=e^{\frac{x}{y}}$ ，则

计算

代入得

提取公因式 $\frac{1}{y^2}$ ，

因此， $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=-\frac{(x+y)e^{\frac{x}{y}}}{y^3}$ 。

【答案】
$a=2$ ， $b=-1$

【解析】
为了使函数 $f(x)$ 处处可导，必须满足其在 $x=1$ 处连续且可导。

首先，连续性要求：

当 $x\le 1$ 时， $f(x)=x^2$ ，于是

当 $x>1$ 时， $f(x)=ax+b$ ，于是

因此，连续性条件为

其次，可导性要求：
在 $x=1$ 处左导数等于右导数。
左导数为

右导数为

因此，可导性条件为

即 $a=2$ 。

代入连续性条件 $a+b=1$ ，得

即 $b=-1$ 。

故当 $a=2$ ， $b=-1$ 时，函数处处可导。

【答案】
$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-3E)$

【解析】
已知矩阵方程 $A^2-3A-2E=O$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。

将方程改写为

在左边提取公因子 $A$ ，得到

两边同时除以 2，可得

同理，从方程右乘的角度可得

即

因此， $A$ 可逆，且其逆矩阵为

【答案】
已取出的废品只数 $X$ 的分布为：
$P(X=0)=\frac{4}{5}$ ，
$P(X=1)=\frac{8}{45}$ ，
$P(X=2)=\frac{1}{45}$ 。
数学期望 $E(X)=\frac{2}{9}$ ，
方差 $\text{Var}(X)=\frac{88}{405}$ 。

【解析】
设随机变量 $X$ 表示在取到正品之前已取出的废品只数，其可能取值为 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 。

• $P(X=0)$ 表示第一次取到正品，概率为 $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ 。
• $P(X=1)$ 表示第一次取到废品、第二次取到正品，概率为 $\frac{2}{10}\times \frac{8}{9}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$ 。
• $P(X=2)$ 表示第一次取到废品、第二次取到废品、第三次取到正品，概率为 $\frac{2}{10}\times \frac{1}{9}\times 1=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$ 。

数学期望

计算方差：