卷 4

【答案】
$y=x+1$

【解析】
首先，求曲线 $y=x+{\sin }^{2}x$ 的导数以得到切线斜率。导数为

在点 $x=\frac{\pi }{2}$ 处，斜率为

已知切点坐标为 $\left(\frac{\pi }{2},1+\frac{\pi }{2}\right)$ ，使用点斜式方程：

化简得

即

因此，切线方程为 $y=x+1$ 。

【答案】
$[-1,1)$

【解析】
考虑幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 。使用比值判别法，计算极限：

• 当 $L<1$ 即 $|x|<1$ 时级数收敛，当 $L>1$ 即 $|x|>1$ 时级数发散。当 $|x|=1$ 时比值判别法不确定，需单独检查端点。
• 当 $x=1$ 时，级数为 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{k}}$ ，是 $p=\frac{1}{2}<1$ 的 $p$ -级数，故发散。
• 当 $x=-1$ 时，级数为 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$ ，是交错级数。令 $b_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ ，则 $b_n>0$ ， $b_n$ 递减，且 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$ ，由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛。

因此，收敛域为 $[-1,1)$ 。

【答案】
λ ≠ 1

【解析】
齐次线性方程组只有零解的条件是系数矩阵的行列式不为零。系数矩阵为：

计算行列式：

因此， $\det (A)=(\lambda -1{)}^2$ 。方程组只有零解当且仅当 $\det (A)\ne 0$ ，即 $(\lambda -1{)}^2\ne 0$ ，所以 $\lambda \ne 1$ 。
当 $\lambda =1$ 时，方程组化为 $x_1+x_2+x_3=0$ ，有无穷多解，不满足只有零解的条件。
故 $\lambda$ 应满足的条件是 $\lambda \ne 1$ 。

【答案】
1, $\frac{1}{2}$

【解析】
由分布函数的性质，在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处， $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=A\sin \frac{\pi }{2}=A$ ，且 $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ ，因此 $A=1$ 。
对于 $P\left\{|X|<\frac{\pi }{6}\right\}$ ，由于 $X$ 是非负随机变量（当 $x<0$ 时 $F(x)=0$ ），有

由于 $X$ 是连续型随机变量，

计算得

因此

【答案】 $\frac{1}{9}$

【解析】 根据切比雪夫不等式，对于任意实数 $k>0$ ，有

本题中 $k=3$ ，因此

【答案】
$e$

【解析】
令 $y=\frac{1}{x}$ ，则当 $x\to \infty$ 时， $y\to 0^{+}$ ，原极限化为：

设该极限为 $L$ ，取自然对数：

当 $y\to 0^{+}$ 时， $\sin y+\cos y\to 1$ ，故 $\ln \left(\sin y+\cos y\right)\to 0$ ，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型，应用洛必达法则。
令 $f(y)=\ln \left(\sin y+\cos y\right)$ ，则

在 $y=0$ 处，

因此，

所以 $L=e^1=e$ ，即原极限为 $e$ 。

【答案】

【解析】 已知 $z=f(u,v)$ ，其中 $u=x+y$ ， $v=xy$ ，且 $f(u,v)$ 的二阶偏导数连续。首先求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
由链式法则：

接下来求混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ ：

计算 $\frac{\partial f_u}{\partial y}$ ，再次应用链式法则：

计算 $\frac{\partial }{\partial y}(y{f}_v)$ ：

由于 $f$ 的二阶偏导数连续，有 $f_{uv}=f_{vu}$ ，因此：

代入 $u=x+y$ 和 $v=xy$ ，得：

这就是所求的结果。

【答案】 $y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-3x}+e^{-x}$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

【解析】 该微分方程为二阶线性非齐次方程，其通解由齐次解和非齐次特解两部分组成。
首先，求解齐次方程 $y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=0$ 。对应的特征方程为 $r^2+5r+6=0$ ，解得 $r_1=-2$ ， $r_2=-3$ ，因此齐次解为 $y_h=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-3x}$ 。
其次，求非齐次特解。非齐次项为 $2e^{-x}$ ，由于 $e^{-x}$ 不是齐次解的一部分，可设特解形式为 $y_p=A{e}^{-x}$ 。代入原方程计算：

代入得

解得 $A=1$ ，因此特解为 $y_p=e^{-x}$ 。
最终，通解为齐次解与特解之和，即

【答案】
(1) 收益函数为 $R(x)=10x{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ ，边际收益函数为 $MR(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}(10-5x)$ 。
(2) 使收益最大时的产量为 $x=2$ ，最大收益为 $\frac{20}{\mathrm{e}}$ ，相应的价格为 $\frac{10}{\mathrm{e}}$ 。
(3) 收益函数的图形在 $x\in [0,6]$ 上从 $(0,0)$ 开始上升，在 $x=2$ 处达到最大值 $\frac{20}{\mathrm{e}}$ ，然后下降至 $(6,\frac{60}{{\mathrm{e}}^3})$ 。

【解析】
(I) 收益函数 $R(x)$ 和边际收益函数 $MR$ 如下：

(II) 由 $\frac{dR}{dx}=5(2-x)e^{-\frac{x}{2}}=0$ ，得 $x=2$ 。又

因此 $R(x)$ 在 $x=2$ 取极大值。又因为极值点唯一，故最大值就是 $R(2)=\frac{20}{e}$ 。于是，当生产量为 2 时，收益取最大值，收益最大值为 $\frac{20}{e}$ 。而相应的价格为 $\frac{10}{e}$ 。

(III) 由以上分析可列下表，并画出收益函数的图形。

【答案】
(1) $S_0=1-\frac{2}{e}+\frac{1}{e^2}$
(2) $S_1=\frac{1}{e^2}-\frac{2}{e^3}+\frac{1}{e^4}$
(3) $S_n=S_0{e}^{-2n}=\left(1-\frac{2}{e}+\frac{1}{e^2}\right)e^{-2n}$
(4) $S=\frac{e-1}{e+1}$

【解析】 (Ⅰ) $f(x)$ 为分段函数，由定积分的性质，

(Ⅱ) 用定积分换元法，令 $x-2=t$ ，则有

(Ⅲ) 用定积分换元法，令 $x-2n=t$ ，则有

(Ⅳ) 利用以上结果，有

【答案】 见解析

【解析】
对 $F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt$ 求导得

方法一：由积分中值定理， $\exists \xi \in (a,x)$ 使得 ${\int }_a^{x}f(t)dt=f(\xi )(x-a)$ ，所以

又因为 $f^{\prime }(x)\le 0,a<\xi <x$ ，故有 $f(x)-f(\xi )\le 0$ ，所以 $F^{\prime }(x)\le 0$ 。

方法二：令 $g(x)=(x-a)f(x)-{\int }_a^{x}f(t)dt$ ，则

因为 $x>a,f^{\prime }(x)\le 0$ ，所以 $g^{\prime }(x)\le 0$ ，即 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减，所以 $g(x)\le g(a)=0$ ，从而 $F^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{(x-a{)}^2}\le 0$ 。

【答案】

【解析】
方法一：由 $X=AX+B$ ，得 $(E-A)X=B$ 。因为

所以

方法二：由 $(E-A)X=B$ ，作初等行变换 $(E-A:B)\to (E:X)$ ，

所以 X=​321​−10−1​​ .

【答案】
(1) 当 $t\ne 5$ 时，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。
(2) 当 $t=5$ 时，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关。
(3) 当向量组线性相关时，即 $t=5$ ，有 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 。

【解析】
考虑矩阵 A=[α1​,α2​,α3​]=​111​123​13t​​ 。计算行列式：

当 $\det (A)\ne 0$ 即 $t\ne 5$ 时，向量组线性无关；当 $\det (A)=0$ 即 $t=5$ 时，向量组线性相关。
当 $t=5$ 时，设 ${\alpha }_3=a{\alpha }_1+b{\alpha }_2$ ，即：

解得方程组：

由前两个方程得 $b=2$ , $a=-1$ ，代入第三个方程验证成立。因此 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 。

【答案】
(1) 矩阵 $A$ 的特征值为 $1$ （二重）和 $-5$ 。
(2) 矩阵 $E+A^{-1}$ 的特征值为 $2$ （二重）和 $\frac{4}{5}$ 。

【解析】
(Ⅰ) 对矩阵 $A$ 的特征行列式作若干次初等变换，得到