卷 5

【答案】 $b$

【解析】 需求的价格弹性定义为 $E_p=\frac{dQ}{dp}\cdot \frac{p}{Q}$ 。给定函数 $Q=a{p}^b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a\ne 0$ ，首先求导数 $\frac{dQ}{dp}=ab{p}^{b-1}$ 。代入弹性公式，得 $E_p=(ab{p}^{b-1})\cdot \frac{p}{a{p}^b}=b\cdot \frac{p^b}{p^b}=b$ 。因此，需求量对价格 $p$ 的弹性为常数 $b$ 。

【答案】 $x^4$

【解析】
通过行变换简化行列式。首先，从第二行、第三行和第四行分别减去第一行，得到矩阵：

然后，从第四行减去 $x$ 倍的第一行，得到：

沿第一列展开，行列式等于其余子式的行列式：

计算该三阶行列式，按第一行展开：

其中，

代入得：

因此，原行列式为 $x^4$ 。

【答案】 46

【解析】 由于随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立，且 $Y=X_1-2X_2+3X_3$ ，则方差 $DY=\text{Var}(Y)=1^2\cdot \text{Var}(X_1)+(-2{)}^2\cdot \text{Var}(X_2)+3^2\cdot \text{Var}(X_3)$ 。

计算各变量的方差：

• $X_1$ 在 $[0,6]$ 上服从均匀分布，方差 $\text{Var}(X_1)=\frac{(6-0{)}^2}{12}=\frac{36}{12}=3$ 。
• $X_2$ 服从正态分布 $N(0,2^2)$ ，方差 $\text{Var}(X_2)=2^2=4$ 。
• $X_3$ 服从参数 $\lambda =3$ 的泊松分布，方差 $\text{Var}(X_3)=3$ 。

代入公式：

因此， $DY=46$ 。

【答案】
$e$

【解析】
考虑极限 ${\lim }_{x\to +\infty }(x+e^x{)}^{\frac{1}{x}}$ 。
令 $L={\lim }_{x\to +\infty }(x+e^x{)}^{\frac{1}{x}}$ ，则 $\ln L={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (x+e^x)}{x}$ 。
由于 $e^x$ 占主导，将 $x+e^x$ 写为 $e^x\left(1+\frac{x}{e^x}\right)$ ，
于是 $\ln (x+e^x)=\ln e^x+\ln \left(1+\frac{x}{e^x}\right)=x+\ln \left(1+\frac{x}{e^x}\right)$ 。
因此，

当 $x\to +\infty$ 时， $\frac{x}{e^x}\to 0$ ，故 $\ln \left(1+\frac{x}{e^x}\right)\sim \frac{x}{e^x}$ ，
所以

因此， $\ln L=1$ ，即 $L=e$ 。
故极限为 $e$ 。

【答案】

【解析】 给定函数 $z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$ ，其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$ ，需求全微分 $\mathrm{d}z$ 。全微分公式为 $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$ 。

首先，令 $u=\sqrt{x^2-y^2}$ ，则 $z=a^u$ 。对 $u$ 求偏导：

对 $z$ 关于 $u$ 求导：

利用链式法则，求 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导：

代入全微分公式：

整理得：

注意：此结果在 $x^2-y^2>0$ 时成立，以确保根号内为正且分母不为零。

【答案】

【解析】 首先，将原积分拆分为两个部分：

其中， $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C_1$ ，但后续常数会合并。

对于 $\int \frac{\ln (1-x)}{x^2}dx$ ，使用分部积分法。设 $u=\ln (1-x)$ ， $dv=\frac{1}{x^2}dx$ ，则 $du=-\frac{1}{1-x}dx$ ， $v=-\frac{1}{x}$ 。代入分部积分公式：

得到：

对 $\int \frac{1}{x(1-x)}dx$ 进行部分分式分解：

所以：

代回分部积分结果：

将两部分积分合并：

由于 $\ln (1-x)$ 要求 $1-x>0$ ，即 $x<1$ ，因此绝对值可省略，化简为：

此结果验证无误，求导后可得原被积函数。

【答案】

【解析】 积分区域 $D$ 是单位圆在第一象限的部分，即 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ ， $0\le r\le 1$ 。
使用极坐标变换：令 $x=r\cos \theta$ ， $y=r\sin \theta$ ，则 $x^2+y^2=r^2$ ，积分元素 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 。
被积函数变为 $\frac{1-r^2}{1+r^2}$ 。
二重积分化为：

由于被积函数与 $\theta$ 无关，可分离变量：

计算 $\theta$ 的积分：

计算 $r$ 的积分：
令 $I_r={\int }_0^1\frac{1-r^2}{1+r^2}r\mathrm{d}r$ 。
代入 $u=r^2$ ，则 $\mathrm{d}u=2r\mathrm{d}r$ ，即 $r\mathrm{d}r=\frac{\mathrm{d}u}{2}$ ，积分限变为 $u=0$ 到 $u=1$ ：

简化被积函数：

因此：

于是：

二重积分为：

故所求积分为 $\frac{\pi }{2}\ln 2-\frac{\pi }{4}$ 。

【答案】
利润函数： $L=18x-3x^2-4x^3$
边际收入函数： $MR=26-4x-12x^2$
边际成本函数： $MC=8+2x$
企业获得最大利润时的产量： $x=1$
最大利润： $L=11$

【解析】
利润函数是总收入函数减去总成本函数，即

边际收入函数是总收入函数对产量 $x$ 的导数，即

边际成本函数是总成本函数对产量 $x$ 的导数，即

为了求最大利润时的产量，对利润函数求一阶导数并设为零：

简化得

解二次方程得 $x=1$ 或 $x=-1.5$ ，由于产量不能为负，取 $x=1$ 。
验证二阶导数：

在 $x=1$ 时值为 $-30<0$ ，故为极大值点。
将 $x=1$ 代入利润函数得最大利润

【答案】

• 单调区间：在 $(-\infty ,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调递减，在 $(0,1)$ 上单调递增。
• 极值点：局部极小值点为 $(0,0)$ 。
• 凹凸性：在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上凹向下，在 $(-\frac{1}{2},1)$ 和 $(1,+\infty )$ 上凹向上。
• 拐点： $(-\frac{1}{2},\frac{2}{9})$ 。
• 渐近线：垂直渐近线为 $x=1$ ，水平渐近线为 $y=2$ 。
• 函数图形：见解析

【解析】 函数 $y=\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}$ 的定义域为 $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$ 。

一阶导数为

令 $y^{\prime }=0$ ，得临界点 $x=0$ 。分析符号：

• 当 $x<0$ 时， $y^{\prime }<0$ ，函数单调递减；
• 当 $0<x<1$ 时， $y^{\prime }>0$ ，函数单调递增；
• 当 $x>1$ 时， $y^{\prime }<0$ ，函数单调递减。

因此，单调区间为 $(-\infty ,0)$ 递减、 $(0,1)$ 递增、 $(1,+\infty )$ 递减，极值点为局部极小值点 $(0,0)$ 。

二阶导数为

令 $y^{\prime \prime }=0$ ，得 $x=-\frac{1}{2}$ 。分析符号：

• 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时， $y^{\prime \prime }<0$ ，曲线凹向下；
• 当 $x>-\frac{1}{2}$ 且 $x\ne 1$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ ，曲线凹向上。

因此，凹凸性为 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 凹向下、 $(-\frac{1}{2},1)$ 和 $(1,+\infty )$ 凹向上，拐点为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{2}{9}\right)$ 。

渐近线：

• 垂直渐近线为 $x=1$ ，因为 ${\lim }_{x\to 1}y=+\infty$ ；
• 水平渐近线为 $y=2$ ，因为 ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ 。

图形基于以上性质绘制：经过点 $(0,0)$ 和 $\left(-\frac{1}{2},\frac{2}{9}\right)$ ，在 $x=1$ 处有垂直渐近线，在 $y=2$ 处有水平渐近线。

• 当 $x\to -\infty$ 时，图形从下方趋近于 $y=2$ ；
• 当 $x\to 1^{-}$ 时，图形趋于 $+\infty$ ；
• 当 $x\to 1^{+}$ 时，图形趋于 $+\infty$ ；
• 当 $x\to +\infty$ 时，图形从上方趋近于 $y=2$ 。

【答案】
(1) $X$ 的概率分布：

(2) $X+Y$ 的概率分布：

(3) $Z=\sin \frac{\pi (X+Y)}{2}$ 的数学期望 $EZ=0.25$ 。

【解析】
(1) 求 $X$ 的概率分布：通过联合分布计算 $X$ 的边缘分布。
当 $X=0$ 时， $P(X=0)=P(0,0)+P(0,1)=0.10+0.15=0.25$ ；
当 $X=1$ 时， $P(X=1)=P(1,0)+P(1,1)=0.25+0.20=0.45$ ；
当 $X=2$ 时， $P(X=2)=P(2,0)+P(2,1)=0.15+0.15=0.30$ 。
因此， $X$ 的概率分布如上。

(2) 求 $X+Y$ 的概率分布：列出 $X+Y$ 的所有可能值及其概率。
$X+Y=0$ 对应 $(0,0)$ ，概率为 $0.10$ ；
$X+Y=1$ 对应 $(0,1)$ 和 $(1,0)$ ，概率之和为 $0.15+0.25=0.40$ ；
$X+Y=2$ 对应 $(1,1)$ 和 $(2,0)$ ，概率之和为 $0.20+0.15=0.35$ ；
$X+Y=3$ 对应 $(2,1)$ ，概率为 $0.15$ 。
因此， $X+Y$ 的概率分布如上。

(3) 求 $Z=\sin \frac{\pi (X+Y)}{2}$ 的数学期望：令 $S=X+Y$ ，则 $Z=\sin \frac{\pi S}{2}$ 。
计算 $S$ 取不同值时 $Z$ 的值：
当 $S=0$ 时， $Z=\sin (0)=0$ ；
当 $S=1$ 时， $Z=\sin (\pi /2)=1$ ；
当 $S=2$ 时， $Z=\sin (\pi )=0$ ；
当 $S=3$ 时， $Z=\sin (3\pi /2)=-1$ 。
利用 $S$ 的概率分布求期望：
$E[Z]=0\times P(S=0)+1\times P(S=1)+0\times P(S=2)+(-1)\times P(S=3)=0\times 0.10+1\times 0.40+0\times 0.35+(-1)\times 0.15=0.40-0.15=0.25$ 。
因此，数学期望为 $0.25$ 。

【答案】
$\alpha =1-e^{-1}$

【解析】
每个电子元件的寿命服从指数分布，参数 $\lambda =\frac{1}{600}$ 。单个元件在 200 小时内损坏的概率为：

单个元件在 200 小时内存活的概率为 $1-p=e^{-\frac{1}{3}}$ 。
由于三个元件独立工作，所有三个元件在 200 小时内都存活的概率为：

因此，在 200 小时内至少有一只电子元件损坏的概率为：