卷 2

【答案】
$y = \frac{1}{2} \left( \ln x + \frac{1}{\ln x} \right)$

【解析】
给定微分方程 $x \ln x dy + (y - \ln x) dx = 0$ ，将其化为标准形式：

这是一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ ， $Q(x) = \frac{1}{x}$ 。
计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} \, dx}$ 。
令 $u = \ln x$ ，则 $du = \frac{1}{x} dx$ ，所以

因此积分因子为 $\mu(x) = \ln x$ （取 $x > 0$ 且 $\ln x > 0$ )。
将原方程乘以积分因子：

左边为 $\frac{d}{dx} (y \ln x)$ ，所以

两边积分：

令 $u = \ln x$ ，则 $du = \frac{1}{x} dx$ ，所以

因此

解得

代入初始条件 $y|_{x=e} = 1$ ：

得 $C = \frac{1}{2}$ 。
故特解为

【答案】

【解析】 过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线。设切点为 $(a, \sqrt{a-2})$ ，抛物线导数为 $y' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ ，切点处斜率为 $k = \frac{1}{2\sqrt{a-2}}$ 。切线过点 $P(1,0)$ 和切点，斜率也为 $k = \frac{\sqrt{a-2}}{a-1}$ 。联立方程：

解得 $a=3$ ，切点为 $(3,1)$ ，切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ，切线方程为 $y = \frac{1}{2}(x-1)$ 。

切线与抛物线及 $x$ 轴围成的图形边界为：从 $P(1,0)$ 沿切线到 $(3,1)$ ，再沿抛物线到 $(2,0)$ ，最后沿 $x$ 轴回 $P(1,0)$ 。该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积可分段计算。

从 $x=1$ 到 $x=2$ ，只有切线旋转，体积为：

令 $u = x-1$ ，则：

从 $x=2$ 到 $x=3$ ，切线与抛物线同时旋转，形成 washer 形状，体积为：

计算积分：

反导数为：

代入上下限：

积分值为：

所以：

总体积：

或者，整体计算：切线从 $x=1$ 到 $x=3$ 旋转体积为：

抛物线从 $x=2$ 到 $x=3$ 旋转体积为：

相减：

结果一致。故旋转体体积为 $\frac{\pi}{6}$ 。