卷 4

【答案】
2

【解析】
考虑极限 $\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{n + 3\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} \right)$ 。这是一个 $\infty - \infty$ 型不定式，通过有理化处理。
令 $a = \sqrt{n + 3\sqrt{n}}$ ， $b = \sqrt{n - \sqrt{n}}$ ，则

因此，

将分母中的根式提取 $\sqrt{n}$ ：

于是，

当 $n \to \infty$ 时， $\frac{3}{\sqrt{n}} \to 0$ ， $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ ，故

因此，分母趋近于 $1 + 1 = 2$ ，极限值为 $\frac{4}{2} = 2$ 。

【答案】
$a + b$

【解析】
由于函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处连续，因此有 $\lim_{x \to 0} F(x) = F(0) = A$ 。
计算极限：

已知 $f(0) = 0$ ，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
将极限拆分为：

由导数定义， $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = b$ 。
又 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ，因此 $\lim_{x \to 0} \frac{a \sin x}{x} = a$ 。
所以，

故 $A = a + b$ 。

【答案】

【解析】 曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x + 2$ 的交点通过解方程 $x^2 = x + 2$ 得到，即 $x^2 - x - 2 = 0$ ，解得 $x = -1$ 和 $x = 2$ 。在区间 $[-1, 2]$ 上，直线 $y = x + 2$ 位于曲线 $y = x^2$ 的上方，因此所围成的平面图形的面积为：

计算积分：

代入上下限：

简化：

因此，所求面积为 $\frac{9}{2}$ 。

【答案】 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0$

【解析】 将方程组的增广矩阵进行行变换：

第一行乘以 -1 加到第四行：

第二行加到第四行：

第三行乘以 -1 加到第四行：

方程组有解当且仅当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。系数矩阵的秩为 3，因此增广矩阵的最后一行为零行，即 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0$ 。

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】 设命中率为 $p$ ，则每次射击不命中的概率为 $1 - p$ 。四次独立射击全部不命中的概率为 $(1 - p)^4$ 。至少命中一次的概率为 $1 - (1 - p)^4 = \frac{80}{81}$ 。
解方程：

因此，该射手的命中率为 $\frac{2}{3}$ 。

【答案】

【解析】
在 $x \in [e, e^2]$ 上， $I'(x) = \frac{\ln x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{\ln x}{(x-1)^2} > 0$ ，因此函数 $I(x)$ 在 $[e, e^2]$ 上单调增加，最大值为 $I(e^2)$ 。

【答案】 $\frac{5}{144}$

【解析】 积分区域 $D$ 由曲线 $y = 4x^2$ 和 $y = 9x^2$ 在第一象限围成。以 $y$ 为自变量，对于固定的 $y$ ， $x$ 的范围从 $\frac{\sqrt{y}}{3}$ 到 $\frac{\sqrt{y}}{2}$ ， $y$ 的范围从 $0$ 到 $\infty$ 。因此，二重积分可写为：

先计算内层积分：

代入外层积分：

计算积分 $\int_{0}^{\infty} y e^{-y^2} \, dy$ ，令 $u = y^2$ ，则 $du = 2y \, dy$ ，即 $y \, dy = \frac{du}{2}$ ，积分限变为 $u$ 从 $0$ 到 $\infty$ ：

因此，原积分为：

【答案】
收敛域为 $[2,4]$ 。

【解析】
考虑幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2}$ ，其中心在 $x=3$ 。使用比值测试求收敛半径：
设 $a_n = \frac{1}{n^2}$ ，则

因此收敛半径 $R = 1$ 。级数在 $|x-3| < 1$ 时绝对收敛，在 $|x-3| > 1$ 时发散。
检查端点：
当 $x = 4$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ，是 $p=2>1$ 的 $p$ -级数，收敛；
当 $x = 2$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ ，绝对收敛。
故收敛域为 $|x-3| \leq 1$ ，即 $[2,4]$ 。

【答案】
$y = e^{-\sin x} (x \ln x - x + C)$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定微分方程 $y' + y \cos x = (\ln x) e^{-\sin x}$ ，这是一阶线性微分方程。
标准形式为 $y' + P(x) y = Q(x)$ ，其中 $P(x) = \cos x$ ， $Q(x) = (\ln x) e^{-\sin x}$ 。
积分因子为 $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\sin x}$ 。
通解公式为 $y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)$ 。
代入得：

计算积分 $\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ 。
因此，通解为 $y = e^{-\sin x} (x \ln x - x + C)$ 。
验证：令 $y = e^{-\sin x} (x \ln x - x + C)$ ，计算 $y'$ 并代入原方程，满足等式。

【答案】
(1) 最优广告策略为电台广告费用 $x_1 = 0.75$ 万元，报纸广告费用 $x_2 = 1.25$ 万元。
(2) 最优广告策略为电台广告费用 $x_1 = 0$ 万元，报纸广告费用 $x_2 = 1.5$ 万元。

【解析】
(1) 利润为销售收入减去成本，所以利润函数为

由多元函数极值点的必要条件，有

解得 $x_1 = 0.75, x_2 = 1.25$ 。因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故投入电台广告费用 0.75 万元，报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润。

(2) 若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数在 $x_1 + x_2 = 1.5$ 时的条件最大值。拉格朗日函数

对它求各个偏导数得到方程组

解得 $x_1 = 0, x_2 = 1.5$ 。因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可便利润最大。

【答案】 见解析

【解析】
方法1：由拉格朗日中值定理

其中 $0<\xi_1<a\leq b<\xi_2<a+b$ 。又 $f'(x)$ 单调减少，故 $f'(\xi_2)\leq f'(\xi_1)$ 。从而有

方法2：构造辅助函数

则 $F(0)=0$ 。又因为

且 $a\geq 0$ ， $f'(x)$ 在 $(0,b)$ 单调减少，所以 $F'(x)\geq 0$ ，于是 $F(x)$ 在 $[0,b]$ 上单调递增，故 $F(b)\geq F(0)=0$ ，即 $f(a+b)\leq f(a)+f(b)$ ，其中 $0\leq a\leq b\leq a+b\leq c$ .

【答案】
(1) 当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，方程组有解。
(2) 导出组的一个基础解系为：

(3) 方程组的全部解为：

其中 $c_1, c_2, c_3$ 为任意常数。

【解析】
首先，将方程组的增广矩阵进行行化简：

通过行操作，第一行不变，第二行减去第一行的 3 倍，第四行减去第一行的 5 倍，得到：

将第二行和第四行乘以 -1，得到：

第二、三、四行的左侧部分相同，因此方程组有解的条件是这些行的常数项相等，即 $3a = b$ 和 $3a = 5a - 2$ 。解之得 $a = 1$ ， $b = 3$ 。

当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，增广矩阵化简为：

对应方程组为：

导出组（齐次方程组）为：

解导出组，令 $x_3, x_4, x_5$ 为自由变量，解得：

基础解系由三个线性无关的解向量组成：

对于非齐次方程组，求一个特解。令 $x_3 = 0, x_4 = 0, x_5 = 0$ ，代入得 $x_2 = 3$ ， $x_1 = -2$ ，特解为：

全部解为特解加上导出组基础解系的线性组合。

【答案】

逆矩阵为 $E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$ .

【解析】

由于 $A^k = 0$ ，考虑矩阵 $B = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$ 。计算 $(E - A)B$ ：