卷 2

【答案】

【解析】 由方程 $AB + E = A^2 + B$ 移项得 $AB - B = A^2 - E$ ，即 $B(A - E) = A^2 - E$ 。因 $A^2 - E = (A - E)(A + E)$ ，故有 $B(A - E) = (A - E)(A + E)$ 。计算 $A - E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，其行列式为 $1 \neq 0$ ，故 $A - E$ 可逆。两边右乘 $(A - E)^{-1}$ 得 $B = A + E$ 。代入 $A$ 得 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 。验证：计算 $AB + E$ 和 $A^2 + B$ ，两者均等于 $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 0 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ ，满足原方程。

【答案】
$2x \int_0^{x^2} f(t) \, dt$

【解析】
考虑莱布尼茨规则： $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x,t) \, dt = g(x, b(x)) \cdot b'(x) - g(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} g(x,t) \, dt$ 。
这里， $a(x) = 0$ ， $b(x) = x^2$ ， $g(x,t) = (x^2 - t) f(t)$ 。
计算得 $b'(x) = 2x$ ， $a'(x) = 0$ ， $g(x, b(x)) = (x^2 - x^2) f(x^2) = 0$ ，因此前两项为零。
第三项中， $\frac{\partial}{\partial x} g(x,t) = 2x f(t)$ ，故积分为 $\int_0^{x^2} 2x f(t) \, dt = 2x \int_0^{x^2} f(t) \, dt$ 。
因此，结果为 $2x \int_0^{x^2} f(t) \, dt$ 。
也可通过拆分积分验证：原积分写为 $x^2 \int_0^{x^2} f(t) \, dt - \int_0^{x^2} t f(t) \, dt$ ，求导后第一项导数为 $2x \int_0^{x^2} f(t) \, dt + 2x^3 f(x^2)$ ，第二项导数为 $-2x^3 f(x^2)$ ，相加得 $2x \int_0^{x^2} f(t) \, dt$ 。

【答案】

【解析】 给定的积分为：

首先，分析积分区域。在 $xy$ -平面上，该区域由 $y$ 从 $\frac{1}{4}$ 到 $1$ 和 $x$ 从某种下限到 $\sqrt{y}$ 组成。通过改变积分顺序，发现区域可描述为 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $1$ ， $y$ 从 $x^2$ 到 $x$ 。因此，积分可重写为：

现在计算内层积分。令 $u = \frac{y}{x}$ ，则 $dy = x du$ ，积分限变为：当 $y = x^2$ 时 $u = x$ ，当 $y = x$ 时 $u = 1$ 。于是：

代入外层积分：

计算第一个积分：

所以 $e \times \frac{3}{8} = \frac{3e}{8}$ 。计算第二个积分：

使用分部积分法，令 $u = x$ ， $dv = e^{x} dx$ ，则 $du = dx$ ， $v = e^{x}$ ：

代入积分限：

因此：

最终：

这就是原积分的值。

\boxed{\dfrac{3e}{8} - \dfrac{\sqrt{e}}{2}}