卷 3

【答案】 $\boxed{3}$

【解析】 给定参数方程：

其中函数 $f$ 可导，且 $f^{\prime }(0)\ne 0$ 。需要求 $\frac{dy}{dx}{|}_{t=0}$ 。

由参数方程求导公式：

计算导数：

在 $t=0$ 时：

因此：

故所求导数为 $3$ 。

【答案】
$\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$

【解析】
函数 $y=x+2\cos x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上可导。求导得 $y^{\prime }=1-2\sin x$ 。
令 $y^{\prime }=0$ ，即 $1-2\sin x=0$ ，解得 $\sin x=\frac{1}{2}$ ，在区间内 $x=\frac{\pi }{6}$ 。
计算函数在临界点和端点处的值：

• 当 $x=0$ 时， $y=0+2\cos 0=2$ ；
• 当 $x=\frac{\pi }{6}$ 时， $y=\frac{\pi }{6}+2\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ ；
• 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时， $y=\frac{\pi }{2}+2\cos \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$ 。
  比较得， $y$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 时取得最大值 $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ 。
  此外，导数符号分析表明：当 $x<\frac{\pi }{6}$ 时 $y^{\prime }>0$ ，函数递增；当 $x>\frac{\pi }{6}$ 时 $y^{\prime }<0$ ，函数递减，故 $x=\frac{\pi }{6}$ 为极大值点，且在该区间上为最大值点。

【答案】 $0$

【解析】
该极限为 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{e^x-\cos x}$ 。
当 $x\to 0$ 时，分子和分母均趋于 0，形成 $\frac{0}{0}$ 型不定式。

应用洛必达法则，对分子和分母分别求导：

• 分子导数为 $\frac{d}{dx}[1-\sqrt{1-x^2}]=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ；
• 分母导数为 $\frac{d}{dx}[e^x-\cos x]=e^x+\sin x$ 。

因此，极限化为

当 $x\to 0$ 时，分子 $x\to 0$ ，分母 $\sqrt{1-x^2}\to 1$ ， $e^x+\sin x\to 1+0=1$ ，故极限为 0。

另外，也可以使用泰勒展开验证：

• 分子 $1-\sqrt{1-x^2}=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+O(x^6)$ ；
• 分母 $e^x-\cos x=x+x^2+\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ 。

因此，分式近似为

同样确认极限为 0。

【答案】
$\frac{1}{2}\ln 2$

【解析】
首先，对被积函数 $\frac{1}{x(x^2+1)}$ 进行部分分式分解。设

通分后比较分子，得

即

比较系数，有

解得 $A=1$ ， $B=-1$ ， $C=0$ 。因此

积分变为

分别计算积分：

所以原函数为

计算反常积分：

在 $x=1$ 处，

在 $x=b$ 处，

当 $b\to \infty$ 时， $\frac{1}{b^2}\to 0$ ，故

因此极限为 0。积分值为

故积分为 $\frac{1}{2}\ln 2$ 。

【答案】

【解析】 首先，求曲线 $y=x{e}^x$ 与直线 $y=ex$ 的交点。解方程 $x{e}^x=ex$ ，当 $x=0$ 时，两边均为 0；当 $x\ne 0$ 时，两边除以 $x$ 得 $e^x=e$ ，即 $x=1$ 。因此，交点为 $x=0$ 和 $x=1$ 。

在区间 $[0,1]$ 上，比较两函数值：取 $x=0.5$ ， $y=x{e}^x\approx 0.5\times e^{0.5}\approx 0.824$ ， $y=ex\approx e\times 0.5\approx 1.359$ ，故直线 $y=ex$ 在曲线 $y=x{e}^x$ 上方。因此，所求面积为：

计算积分：

其中：

对于 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ ，使用分部积分法：令 $u=x$ ， $dv=e^{x}dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=e^x$ ，有：

代入上下限：

因此：

【答案】 $e^{-\frac{3}{2}}$

【解析】 考虑极限

取自然对数，得

注意到

因此

当 $x\to \infty$ 时， $-\frac{3}{6+x}$ 趋于 0，故

于是，

计算

所以

即

【答案】
$2e^2$

【解析】
给定方程 $y-x{e}^y=1$ ，首先求一阶导数。对方程两边关于 $x$ 求导：

整理得：

因此一阶导数为：

当 $x=0$ 时，由原方程得 $y=1$ ，代入一阶导数公式：

接下来求二阶导数。对一阶导数公式两边关于 $x$ 求导：

简化分子：

因此：

代入 $x=0$ ， $y=1$ ， $\frac{dy}{dx}=e$ ：
分母为 $(1-0\cdot e^1{)}^2=1$ ，分子为 $e^1\cdot e+e^{2\cdot 1}=e^2+e^2=2e^2$ ，故：

【答案】

【解析】 考虑积分 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$ 。令 $u=1+x^2$ ，则 $du=2xdx$ ，即 $xdx=\frac{du}{2}$ 。同时， $x^2=u-1$ 。代入积分得：

计算积分：

代回 $u=1+x^2$ ：

因此，积分结果为 $\frac{\sqrt{1+x^2}(x^2-2)}{3}+C$ .

【答案】 $4\sqrt{2}-4$

【解析】 首先，利用三角恒等式简化被积函数。有 $1-\sin x=(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}{)}^2$ ，因此 $\sqrt{1-\sin x}=|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}|$ 。原积分化为 ${\int }_0^{\pi }|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}|dx$ 。

令 $u=\frac{x}{2}$ ，则 $dx=2du$ ，积分限变为 $u$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$ 。积分化为 $2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|\sin u-\cos u|du$ 。

在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上， $\sin u-\cos u$ 在 $u=\frac{\pi }{4}$ 处为零。当 $u<\frac{\pi }{4}$ 时， $\sin u-\cos u<0$ ，故 $|\sin u-\cos u|=\cos u-\sin u$ ；当 $u>\frac{\pi }{4}$ 时， $\sin u-\cos u>0$ ，故 $|\sin u-\cos u|=\sin u-\cos u$ 。因此，积分拆分为：

计算第一积分：

计算第二积分：

因此，

故原积分的值为 $4\sqrt{2}-4$ 。

【答案】
$y=C\sqrt{x}-\frac{1}{5}{x}^3$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定微分方程 $(y-x^3)dx-2xdy=0$ ，首先将其化为标准形式。整理得：

即

进一步写成一阶线性微分方程形式：

其中 $P(x)=-\frac{1}{2x}$ ， $Q(x)=-\frac{1}{2}{x}^2$ 。计算积分因子：

将原方程乘以积分因子：

左边为 $\frac{d}{dx}\left(x^{-1/2}y\right)$ ，因此：

两边积分：

其中 $C$ 为积分常数。解出 $y$ ：

即通解为 $y=C\sqrt{x}-\frac{1}{5}{x}^3$ 。验证可知满足原方程。

【答案】 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}-\frac{1}{2}{x}^2{e}^x-x{e}^x$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

【解析】 首先，求解齐次方程 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$ 。特征方程为 $r^2-3r+2=0$ ，解得根 $r=1$ 和 $r=2$ ，因此齐次解为 $y_h=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$ 。

其次，求非齐次方程的特解。非齐次项为 $x{e}^x$ ，由于 $e^x$ 是齐次解的一部分（对应单根 $r=1$ ），设特解形式为 $y_p=x(Ax+B)e^x=(A{x}^2+Bx)e^x$ 。计算一阶和二阶导数：

代入原方程：

令其等于 $x{e}^x$ ，比较系数：

解得 $A=-\frac{1}{2}$ , $B=-1$ ，因此特解为 $y_p=\left(-\frac{1}{2}{x}^2-x\right)e^x$ .

最后，通解为齐次解与特解之和：

整理得：

【答案】

【解析】 曲线弧长公式为 $L={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$ ，其中 $a=0$ ， $b=\frac{1}{2}$ 。
给定 $y=\ln (1-x^2)$ ，求导得 $\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{1-x^2}$ ，
则 ${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=\frac{4x^2}{(1-x^2{)}^2}$ 。
代入弧长公式：

（由于 $0\le x\le \frac{1}{2}$ ，有 $1-x^2>0$ ，故绝对值符号省略）。
于是弧长为：

将被积函数化简：

因此积分化为：

计算第二积分：

计算第一积分：

所以：

最终得：

【答案】 切线方程为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

【解析】 设切点为 $(a,\sqrt{a})$ ，其中 $a>0$ 。曲线 $y=\sqrt{x}$ 的导数为 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ，在切点处的切线斜率为 $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ 。切线方程为：

简化得：

曲线与切线及直线 $x=0$ 、 $x=2$ 所围成的平面图形面积 $S$ 为：

计算积分：

代入 $x=2$ ：

因此：

令 $g(a)=\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}$ ，则 $S(a)=g(a)-\frac{4\sqrt{2}}{3}$ 。最小化 $S(a)$ 等价于最小化 $g(a)$ 。求导：

令 $g^{\prime }(a)=0$ ，得 $a=1$ 。当 $a<1$ 时， $g^{\prime }(a)<0$ ；当 $a>1$ 时， $g^{\prime }(a)>0$ ，故 $a=1$ 时 $g(a)$ 取最小值。因此，切点为 $(1,1)$ ，切线方程为：