卷 5

【答案】
$e^{2t}(1+2t)$

【解析】
首先，计算极限 $f(t)={\lim }_{x\to \infty }t{\left(\frac{x+t}{x-t}\right)}^x$ 。
令 $g(x)={\left(\frac{x+t}{x-t}\right)}^x$ ，取自然对数得：

当 $x\to \infty$ 时，令 $u=\frac{1}{x}$ ，则 $u\to 0$ ，有：

所以，

利用泰勒展开：

因此，

所以， $g(x)\to e^{2t}$ ，即

接下来，求导数：

故 $f^{\prime }(t)=e^{2t}(1+2t)$ 。

【答案】
$\varphi (x)=\arcsin (1-x^2)$ ，定义域为 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

【解析】
已知 $f(x)=\sin x$ ，且 $f[\varphi (x)]=1-x^2$ ，即 $\sin (\varphi (x))=1-x^2$ 。
由于 $\sin (\varphi (x))$ 的值域为 $[-1,1]$ ，因此 $1-x^2$ 必须满足 $-1\le 1-x^2\le 1$ 。
解此不等式：
由 $1-x^2\ge -1$ 得 $x^2\le 2$ ，即 $|x|\le \sqrt{2}$ ；
由 $1-x^2\le 1$ 得 $-x^2\le 0$ ，该不等式恒成立。
故定义域为 $x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ 。
对方程 $\sin (\varphi (x))=1-x^2$ 取反正弦，得 $\varphi (x)=\arcsin (1-x^2)$ ，其中 $\arcsin$ 的值域为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ ，且 $1-x^2$ 在定义域内的值域为 $[-1,1]$ ，符合要求。

【答案】
4

【解析】
矩阵 A=​1111​1111​1111​1111​​ 是一个秩为 1 的矩阵，因为所有行向量相同。对于秩为 1 的矩阵，非零特征值等于矩阵的迹。矩阵 $A$ 的迹为 $1+1+1+1=4$ ，因此非零特征值为 4。此外，矩阵 $A$ 有三个零特征值，对应与向量 $(1,1,1,1{)}^T$ 正交的特征向量。

【答案】
$\frac{5}{8}$

【解析】
要求事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中至少出现一个的概率，即求 $P(A\cup B\cup C)$ 。根据概率的加法公式：

已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$ ， $P(AB)=P(BC)=0$ ， $P(AC)=\frac{1}{8}$ 。
由于 $P(AB)=0$ 和 $P(BC)=0$ ，事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，事件 $B$ 与 $C$ 也不能同时发生，因此事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 同时发生的概率 $P(ABC)=0$ 。
代入公式：

因此，事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中至少出现一个的概率为 $\frac{5}{8}$ 。

【答案】 $-\frac{4}{{\pi }^2}$

【解析】 令 $t=x-1$ ，则当 $x\to 1$ 时， $t\to 0$ 。原极限化为：

利用三角恒等式 $\sin \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi t}{2}$ ，分母变为 $1-\cos \frac{\pi t}{2}$ 。因此：

当 $t\to 0$ 时，使用等价无穷小： $\ln \cos t=\ln (1+(\cos t-1))\sim \cos t-1\sim -\frac{t^2}{2}$ ，且 $1-\cos \frac{\pi t}{2}\sim \frac{1}{2}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2{t}^2}{8}$ 。代入得：

故极限为 $-\frac{4}{{\pi }^2}$ 。

【答案】 $f(x)=\cos x-x\sin x+C$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
令 $u=tx$ ，则原式变成

两端对 $x$ 求导，得

积分得

其中 $C$ 为任意常数。

【答案】
(1) 总利润函数为 $\pi =-x^3+15x^2+72x-10$
(2) 使总利润最大的产量为 $x=12$

【解析】
已知固定成本为 $10$ ，边际成本函数 $MC=-40-20x+3x^2$ ，边际收入函数 $MR=32+10x$ 。
首先，求总收入函数 $TR$ 。由于 $MR$ 是 $TR$ 的导数，积分 $MR$ 得：

当产量 $x=0$ 时，收入应为 $0$ ，故 $C=0$ ，即 $TR=32x+5x^2$ 。
其次，求总成本函数 $TC$ 。由于 $MC$ 是 $TC$ 的导数，积分 $MC$ 得可变成本，再加固定成本：

当 $x=0$ 时， $TC=10$ ，代入得 $K=10$ ，故 $TC=x^3-10x^2-40x+10$ 。
总利润函数 $\pi =TR-TC$ ：

为求最大利润，取一阶导数并令为零：

解得 $x^2-10x-24=0$ ，根为 $x=12$ 或 $x=-2$ （舍去负值）。
二阶导数 ${\pi }^{\prime \prime }=-6x+30$ ，在 $x=12$ 时 ${\pi }^{\prime \prime }=-42<0$ ，故为最大值。
因此，使总利润最大的产量为 $x=12$ 。

【答案】
方程 $x+p+q\cos x=0$ 恰有一个实根。

【解析】
考虑函数 $f(x)=x+p+q\cos x$ 。其导数为 $f^{\prime }(x)=1-q\sin x$ 。由于 $0<q<1$ ，有 $|q\sin x|\le q<1$ ，因此 $f^{\prime }(x)\ge 1-q>0$ ，即 $f(x)$ 在全体实数上严格单调递增。
又因为 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ ， ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ ，且 $f(x)$ 连续，由中间值定理可知，存在唯一的 $x$ 使得 $f(x)=0$ 。
因此原方程恰有一个实根。

【答案】
(1) 切线方程为 $y=-\frac{2}{x_0^3}x+\frac{3}{x_0^2}$ 。
(2) 最短长度为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 。

【解析】
(1) 曲线 $y=\frac{1}{x^2}$ 的导数为 $y^{\prime }=-\frac{2}{x^3}$ 。在点 $x_0$ 处，斜率为 $-\frac{2}{x_0^3}$ ，切点为 $\left(x_0,\frac{1}{x_0^2}\right)$ 。切线方程为

化简得

(2) 切线的 $x$ 截距可通过令 $y=0$ 求得，解得 $x=\frac{3}{2}{x}_0$ ； $y$ 截距可通过令 $x=0$ 求得，解得 $y=\frac{3}{x_0^2}$ 。被两坐标轴所截线段的长度为

令

求其最小值。对 $f(x_0)$ 求导得

令导数为零，有

即 $x_0^6=8$ ，解得 $x_0=\sqrt{2}$ （取 $x_0>0$ ）。代入 $L$ 得

故最短长度为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 。

【答案】

【解析】 由方程 $AB+E=A^2+B$ ，移项得 $AB-B=A^2-E$ ，即 $(A-E)B=A^2-E$ 。
给定 A=​101​020​101​​ ，计算 A−E=​001​010​100​​ 。
计算 A2=​202​040​202​​ ，则 A2−E=​102​030​201​​ 。
由于 $A-E$ 可逆（行列式为 $-1$ ），且 $(A-E{)}^{-1}=A-E$ ，故 B=(A−E)−1(A2−E)=​001​010​100​​​102​030​201​​=​201​030​102​​ 。
验证：计算 $AB+E$ 和 $A^2+B$ ，两者均等于 ​403​070​304​​ ，符合原方程。

【答案】 1

【解析】 给定线性方程组的系数矩阵为 A=​123​2−11​−2λ−1​​ ，且存在三阶非零矩阵 $B$ 满足 $AB=0$ 。这意味着 $B$ 的每一列都是齐次方程组 $AX=0$ 的解向量。由于 $B\ne 0$ ，方程组存在非零解，因此 $A$ 必须是奇异矩阵，即 $\det (A)=0$ 。

计算行列式：

其中：

代入得：

设 $\det (A)=0$ ：

当 $\lambda =1$ 时， $A$ 奇异，方程组存在非零解，因此存在非零矩阵 $B$ 满足 $AB=0$ 。故 $\lambda$ 的值为 1。

【答案】 $|A|=1$

【解析】
由条件 (1) 可知，伴随矩阵 $\mathrm{adj}(A)$ 满足 $\mathrm{adj}(A)=A^{\mathrm{T}}$ 。
根据矩阵性质，有 $A\cdot \mathrm{adj}(A)=|A|I$ ，代入得 $A{A}^{\mathrm{T}}=|A|I$ 。

取行列式：
左边 $|A{A}^{\mathrm{T}}|=|A||A^{\mathrm{T}}|=|A{|}^2$ ，
右边 $||A|I|=|A{|}^3|I|=|A{|}^3$ 。

因此， $|A{|}^2=|A{|}^3$ ，即 $|A{|}^2(|A|-1)=0$ ，
解得 $|A|=0$ 或 $|A|=1$ 。

若 $|A|=0$ ，则 $A{A}^{\mathrm{T}}=0$ 。
考虑 $A{A}^{\mathrm{T}}$ 的对角线元素，例如第 $i$ 行对角元素为 ${\sum }_j{a}_{ij}^2$ ，
由于 $A{A}^{\mathrm{T}}=0$ ，所有对角线元素为零，故 ${\sum }_j{a}_{ij}^2=0$ 对所有 $i$ 成立，
这意味着所有 $a_{ij}=0$ ，与条件 (2) $a_{11}\ne 0$ 矛盾。

因此， $|A|\ne 0$ ，
故 $|A|=1$ 。