卷 2

【答案】

【解析】 问题要求椭圆 $x^2 + 4y^2 = 4$ 上到直线 $2x + 3y - 6 = 0$ 距离最短的点。首先，计算直线与椭圆是否有交点。将直线方程 $x = 3 - 1.5y$ 代入椭圆方程，得 $6.25y^2 - 9y + 5 = 0$ ，判别式为 $-44 < 0$ ，无实根，故直线与椭圆不相交。因此，最小距离不为零。

距离公式为 $d = \frac{|2x + 3y - 6|}{\sqrt{13}}$ 。由于直线与椭圆不相交，且椭圆上点均满足 $2x + 3y - 6 < 0$ （如点 $(2,0)$ 值为 $-2$ ，点 $(0,1)$ 值为 $-3$ ），故最小化 $|2x + 3y - 6|$ 等价于最大化 $2x + 3y - 6$ ，即最大化 $2x + 3y$ 。

使用拉格朗日乘数法最大化 $f(x,y) = 2x + 3y$ ，约束为 $g(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4 = 0$ 。设拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda) = 2x + 3y - \lambda(x^2 + 4y^2 - 4)$ 。求偏导：

由前两式得 $\lambda x = 1$ 和 $\lambda = \frac{3}{8y}$ ，联立得 $y = \frac{3}{8}x$ 。代入约束方程：

对应 $y = \frac{3}{8}x = \pm \frac{3}{5}$ 。计算 $2x + 3y$ ：当 $x = \frac{8}{5}, y = \frac{3}{5}$ 时，值为 $5$ ；当 $x = -\frac{8}{5}, y = -\frac{3}{5}$ 时，值为 $-5$ 。故最大值点为 $\left( \frac{8}{5}, \frac{3}{5} \right)$ 。

验证距离：点 $\left( \frac{8}{5}, \frac{3}{5} \right)$ 到直线的距离为 $\frac{|2 \cdot \frac{8}{5} + 3 \cdot \frac{3}{5} - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{|5 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$ ，小于其他点（如 $(0,1)$ 距离 $\frac{3}{\sqrt{13}}$ ），故该点为所求。

【答案】

【解析】

1. 确定 $A - 3E$ 的特征值

已知 $n$ 阶方阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为：

根据矩阵多项式特征值的性质，矩阵 $A - 3E$ 的特征值 $\mu_i$ 为 $A$ 的对应特征值减去 3：

将 $\lambda_i$ 代入，可得 $A - 3E$ 的 $n$ 个特征值为：

• $\mu_1 = 2 - 3 = -1$
• $\mu_2 = 4 - 3 = 1$
• $\mu_3 = 6 - 3 = 3$
• $\mu_4 = 8 - 3 = 5$
• $\cdots$
• $\mu_n = 2n - 3$

2. 计算行列式 $|A - 3E|$

行列式的值等于所有特征值的乘积：

代入具体数值：

3. 整理结果

观察上述乘积：

• 第一项是 $-1$ 。
• 从第二项开始，即 $1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n - 3)$ ，这是从 1 到 $2n-3$ 的所有连续奇数的乘积。

在数学中，连续奇数的乘积通常用双阶乘（Double Factorial）符号 $!!$ 表示。即 $(2n-3)!! = 1 \times 3 \times \cdots \times (2n-3)$ 。

因此，最终结果为：

(注：如果题目不强制要求双阶乘符号，写成乘积形式 $(-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdots (2n-3)$ 也是正确的)

最终答案

或者写成展开形式：