卷 2

【答案】 $2x + 2y - z - 3 = 0$

【解析】 曲面方程为 $z = \frac{x^2}{2} + y^2$ ，设 $f(x, y) = \frac{x^2}{2} + y^2$ ，则曲面的切平面法向量为 $(f_x, f_y, -1) = (x, 2y, -1)$ 。
给定平面 $2x + 2y - z = 0$ 的法向量为 $(2, 2, -1)$ 。
由于切平面平行于给定平面，法向量平行，即存在常数 $k$ 使得 $(x, 2y, -1) = k(2, 2, -1)$ 。
由 $-1 = -k$ 得 $k = 1$ ，代入得 $x = 2 \times 1 = 2$ ， $2y = 2 \times 1$ 得 $y = 1$ 。
切点坐标为 $(2, 1, z)$ ，代入曲面方程得 $z = \frac{2^2}{2} + 1^2 = 2 + 1 = 3$ ，即切点为 $(2, 1, 3)$ 。
切平面法向量为 $(2, 2, -1)$ ，利用点法式得方程：
$2(x - 2) + 2(y - 1) - (z - 3) = 0$ ，
化简得 $2x + 2y - z - 3 = 0$ 。

【答案】

【解析】 积分区域 $D$ 由双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 及直线 $y = 0$ 、 $y = 1$ 围成。对于 $y \in [0, 1]$ ， $x$ 的取值范围为 $-\sqrt{1+y^2}$ 到 $\sqrt{1+y^2}$ 。因此，二重积分可化为：

由于被积函数 $x^2 y$ 关于 $x$ 是偶函数，且积分区间对称，可简化为：

令 $u = 1 + y^2$ ，则 $du = 2y dy$ ，即 $y dy = \frac{du}{2}$ 。当 $y = 0$ 时， $u = 1$ ；当 $y = 1$ 时， $u = 2$ 。代入得：

计算积分：

所以：

因此，二重积分的值为 $\frac{2}{15}(4\sqrt{2} - 1)$ 。

【答案】 当 $a = 2$ 时，方程组无解；当 $a \neq 2$ 时，方程组有解，通解为：

【解析】 方程组的增广矩阵为：

通过行变换：

• $R_3 - R_1$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a & -a & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & 2 \end{array}\right)$
• $R_3 + R_2$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a & -a & -1 \\ 0 & 0 & a-2 & 2-a & 1 \end{array}\right)$ 当 $a = 2$ 时，第三行为 $0 = 1$ ，矛盾，方程组无解。当 $a \neq 2$ 时，方程组有解。继续行变换：
• 第三行除以 $a-2$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a & -a & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{a-2} \end{array}\right)$
• $R_2 - a R_3$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 - \frac{a}{a-2} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{a-2} \end{array}\right)$
• $R_1 - 2 R_3$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 3 & 1 - \frac{2}{a-2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 - \frac{a}{a-2} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{a-2} \end{array}\right)$
• $R_1 - 3 R_2$ 得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 - \frac{2}{a-2} + 3 + \frac{3a}{a-2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 - \frac{a}{a-2} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & \frac{1}{a-2} \end{array}\right)$ 简化常数项：
• $x_2 = -1 - \frac{a}{a-2} = \frac{2-2a}{a-2}$
• $x_1 + 3x_4 = \frac{7a-10}{a-2}$ ，即 $x_1 = \frac{7a-10}{a-2} - 3x_4$
• $x_3 - x_4 = \frac{1}{a-2}$ ，即 $x_3 = \frac{1}{a-2} + x_4$ 令 $x_4 = t$ ，得通解如上。