卷 3

【答案】

【解析】
设 $u = \cos(x^2)$ 和 $v = \sin^2\left( \frac{1}{x} \right)$ ，则 $y = u \cdot v$ 。
由乘积法则，

第一步：求 $u'$
$u = \cos(x^2)$ ，使用链式法则。令 $w = x^2$ ，则 $u = \cos(w)$ ，

第二步：求 $v'$
$v = \sin^2\left( \frac{1}{x} \right) = \left[ \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right]^2$ 。
令 $z = \sin\left( \frac{1}{x} \right)$ ，则 $v = z^2$ ，

求 $z'$
令 $t = \frac{1}{x} = x^{-1}$ ，则 $z = \sin(t)$ ，

于是

利用三角恒等式

得

第三步：代入乘积法则

【答案】
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - 2x$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

【解析】
该微分方程为二阶线性非齐次方程，通解由齐次解和特解组成。
齐次方程 $y'' + y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$ ，解得 $r = \pm i$ ，故齐次解为 $y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$ 。
非齐次项为 $-2x$ ，设特解形式为 $y_p = Ax + B$ ，代入原方程得 $y_p'' = 0$ ，有 $0 + (Ax + B) = -2x$ ，比较系数得 $A = -2$ ， $B = 0$ ，即特解 $y_p = -2x$ 。
因此，通解为 $y = y_h + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x - 2x$ 。

【答案】
$y = -3x + 7$

【解析】
曲线由参数方程 $x = 1 + t^2$ , $y = t^3$ 给出。
在 $t = -2$ 时，点坐标为

即点 $(5, -8)$ 。

求切线斜率：

所以

在 $t = -2$ 时，斜率

切线方程使用点斜式：

化简得

即

【答案】

【解析】 考虑和式 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + k}$ 。通过夹逼定理确定极限。
首先，注意到对于每个 $k$ （从 1 到 $n$ ），有不等式：

即：

对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和，得：

计算左端和式：

当 $n \to \infty$ 时，

计算右端和式：

当 $n \to \infty$ 时，

由夹逼定理，得

因此，原极限为 $\frac{1}{2}$ 。

【答案】
$y = 0$

【解析】
考虑曲线 $y = x^2 e^{-x^2}$ 。
首先，求水平渐近线：计算当 $x \to \infty$ 时的极限，

因为指数函数增长更快。同理，当 $x \to -\infty$ 时，

因此，水平渐近线为 $y = 0$ 。
其次，检查垂直渐近线：函数 $y = x^2 e^{-x^2}$ 对所有实数 $x$ 有定义，且无界点处极限有限，故无垂直渐近线。
最后，考虑斜渐近线：由于已有水平渐近线，且 $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} x e^{-x^2} = 0$ ，故无斜渐近线。
综上，曲线仅有水平渐近线 $y = 0$ 。

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 考虑极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x(1 - \cos \sqrt{x})}$ 。当 $x \to 0^+$ 时，分子和分母均趋于 0，因此使用等价无穷小替换。

分子 $1 - \sqrt{\cos x}$ ：由于 $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ ，有 $\sqrt{\cos x} \approx \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} \approx 1 - \frac{x^2}{4}$ ，因此 $1 - \sqrt{\cos x} \approx \frac{x^2}{4}$ .

分母 $x(1 - \cos \sqrt{x})$ ：由于 $1 - \cos \sqrt{x} \approx \frac{(\sqrt{x})^2}{2} = \frac{x}{2}$ ，因此 $x(1 - \cos \sqrt{x}) \approx x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$ .

于是，原极限化为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{4}}{\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$ .

或者，令 $u = \sqrt{x}$ ，则当 $x \to 0^+$ 时 $u \to 0^+$ ，原极限变为 $\lim_{u \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos (u^2)}}{u^2 (1 - \cos u)}$ 。分子 $1 - \sqrt{\cos (u^2)} \approx \frac{u^4}{4}$ ，分母 $u^2 (1 - \cos u) \approx u^2 \cdot \frac{u^2}{2} = \frac{u^4}{2}$ ，比值仍为 $\frac{1}{2}$ .

因此，极限为 $\frac{1}{2}$ .

【答案】

【解析】 由方程 $x e^{f(y)} = e^y$ 两边对 $x$ 求导，利用乘积法则和链式法则，得到：

整理得：

由原方程 $x e^{f(y)} = e^y$ ，代入得：

解得一阶导数：

其中利用了原方程 $e^{f(y)} = \frac{e^y}{x}$ ，即 $e^{f(y) - y} = \frac{1}{x}$ 。

对一阶导数再对 $x$ 求导：

令 $u = 1 - f'(y)$ ，则：

求导：

其中：

代入 $\frac{\d y}{\d x} = \frac{1}{x u}$ ：

于是：

代入 $u = 1 - f'(y)$ ：

这就是所求的二阶导数。

【答案】
$x + 2 \ln |x - 1| + C$

【解析】
给定 $f(x^2 - 1) = \ln \frac{x^2}{x^2 - 2}$ ，令 $t = x^2 - 1$ ，则 $x^2 = t + 1$ ，代入得

由 $f[\phi(x)] = \ln x$ ，有

解得

求积分：

简化被积函数：

所以

其中 $C$ 为积分常数。

【答案】
$f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

【解析】
首先，计算 $f'(0)$ 使用导数定义：

其次，对于 $x \neq 0$ ，求导 $f(x) = x \arctan \frac{1}{x^2}$ ：

然后，计算 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ ：

由于 $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = \frac{\pi}{2}$ ，因此 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

【答案】
8

【解析】
给定摆线的参数方程 $x = 1 - \cos t$ , $y = t - \sin t$ ，其中 $t \in [0, 2\pi]$ 。弧长公式为 $s = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt$ 。
计算导数：

代入弧长公式：

在区间 $[0, 2\pi]$ 上， $\frac{t}{2} \in [0, \pi]$ ，故 $\sin \frac{t}{2} \geq 0$ ，因此 $2 \left| \sin \frac{t}{2} \right| = 2 \sin \frac{t}{2}$ 。
于是弧长为：

令 $u = \frac{t}{2}$ ，则 $du = \frac{1}{2} dt$ ，即 $dt = 2 du$ ，积分限变为 $u = 0$ 到 $u = \pi$ 。

因此，摆线一拱的弧长为 8。

【答案】
$t = \ln 3$ ，路程为 $\frac{2}{3} v_0$ 。

【解析】
由题意，单位质点的质量 $m = 1$ ，阻力与速度成正比且比例常数为 $1$ ，故运动方程为 $\frac{dv}{dt} = -v$ 。
解此微分方程：分离变量得 $\frac{dv}{v} = -dt$ ，积分得 $\ln v = -t + C$ ，代入初始条件 $v(0) = v_0$ 得 $v(t) = v_0 e^{-t}$ 。
设 $v(t) = \frac{v_0}{3}$ ，则 $v_0 e^{-t} = \frac{v_0}{3}$ ，即 $e^{-t} = \frac{1}{3}$ ，解得 $t = \ln 3$ 。
路程为速度的积分，即 $s(t) = \int_0^t v(\tau) \, d\tau = \int_0^t v_0 e^{-\tau} \, d\tau = v_0 \left[ -e^{-\tau} \right]_0^t = v_0 (1 - e^{-t})$ 。
代入 $t = \ln 3$ 得 $s(\ln 3) = v_0 (1 - e^{-\ln 3}) = v_0 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} v_0$ 。

【答案】
函数的最小值为 $0$ ，最大值为 $1 + e^{-2}$ 。

【解析】
函数 $f(x) = \int_0^{x^2} (2 - t) e^{-t} \, dt$ 可以通过计算积分得到显式表达式。
计算积分：

因此，