卷 5

【答案】
2

【解析】
首先，计算左边的极限：

其次，计算右边的积分：

使用分部积分法，设 $u = t$ , $dv = e^t \, dt$ ，则 $du = dt$ , $v = e^t$ ，可得：

因此，

计算极限：

因为指数衰减 $e^t$ 主导线性增长 $t - 1$ 。所以，

由题设，左右两边相等：

假设 $e^a \neq 0$ ，两边除以 $e^a$ 得：

解得 $a = 2$ .

【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】 随机变量 $X$ 的方差计算公式为 $DX = E[X^2] - (EX)^2$ 。首先计算期望 $EX$ ：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

因此， $EX = -\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0$ 。

由于 $EX = 0$ ，方差简化为 $DX = E[X^2]$ 。计算 $E[X^2]$ ：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

因此， $E[X^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ ，故 $DX = \frac{1}{6}$ 。

【答案】

【解析】 为了求解不定积分 $\int (\arcsin x)^2 dx$ ，使用代换法。令 $t = \arcsin x$ ，则 $x = \sin t$ ，且 $dx = \cos t dt$ 。代入积分得：

接下来，计算 $\int t^2 \cos t dt$ ，使用分部积分法。令 $u = t^2$ ， $dv = \cos t dt$ ，则 $du = 2t dt$ ， $v = \sin t$ 。于是：

再计算 $\int t \sin t dt$ ，再次使用分部积分。令 $u = t$ ， $dv = \sin t dt$ ，则 $du = dt$ ， $v = -\cos t$ 。于是：

代入回原式：

将 $t = \arcsin x$ 代回，注意 $\sin t = x$ ， $\cos t = \sqrt{1-x^2}$ ，得：

验证求导后等于原函数，确认结果正确。

【答案】 见解析

【解析】
考虑函数 $g(x) = x f(x)$ 。由于 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，因此 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得

计算 $g(b) - g(a) = b f(b) - a f(a)$ ，且 $g'(x) = f(x) + x f'(x)$ ，所以

因此，原等式成立。

【答案】 函数在点 $(2,1)$ 处取得极大值 $4$ ，在点 $(4,2)$ 处取得最小值 $-64$ 。最大值是 $4$ ，最小值是 $-64$ 。

【解析】 函数 $z = f(x,y) = x^2 y (4 - x - y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，因此存在最大值和最小值。区域 $D$ 是由直线 $x + y = 6$ 、 $x$ 轴和 $y$ 轴所围成的三角形区域，其中 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ，且 $x + y \leq 6$ 。

步骤 1：求内部临界点
计算一阶偏导数：

令 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$ ，在内部点（ $x > 0, y > 0$ ）上，由 $f_y = 0$ 得 $4 - x - 2y = 0$ ，即 $x + 2y = 4$ ；由 $f_x = 0$ 得 $8 - 3x - 2y = 0$ 。解方程组：

相减得 $2x = 4$ ，即 $x = 2$ ，代入得 $y = 1$ 。临界点为 $(2,1)$ ，函数值 $f(2,1) = 4$ 。

步骤 2：检查边界

1. 当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时， $f(x,y) = 0$ 。
2. 当 $x + y = 6$ 时，令 $y = 6 - x$ ，代入函数得： $f(x, 6-x) = -2 x^2 (6-x).$ 定义 $g(x) = -2x^2(6-x)$ ，其中 $x \in [0,6]$ 。求导： $g'(x) = -24x + 6x^2 = 6x(x - 4).$ 令 $g'(x) = 0$ ，得 $x = 0$ 或 $x = 4$ 。计算函数值：

• $x = 0$ 时， $g(0) = 0$ ；
• $x = 4$ 时， $g(4) = -64$ ，对应点 $(4,2)$ ；
• $x = 6$ 时， $g(6) = 0$ 。

步骤 3：比较函数值

• 内部临界点： $(2,1)$ ， $f = 4$ ；
• 边界点： $(0,0)$ 、 $(6,0)$ 、 $(0,6)$ 处 $f = 0$ ， $(4,2)$ 处 $f = -64$ 。

因此，函数在点 $(2,1)$ 处取得最大值 $4$ ，在点 $(4,2)$ 处取得最小值 $-64$ 。

【答案】 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，方程组有唯一解；当 $\lambda = 1$ 时，方程组有无穷多解；当 $\lambda = -2$ 时，方程组无解。
在方程组有无穷多解时（即 $\lambda = 1$ ），全部解为：

【解析】 方程组的系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$ ，增广矩阵为 $(A \mid b) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & \lambda - 3 \\ 1 & \lambda & 1 & -2 \\ 1 & 1 & \lambda & -2 \end{pmatrix}$ 。
计算系数矩阵的行列式：

因式分解得 $\det(A) = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 2)$ 。
当 $\det(A) \neq 0$ ，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，方程组有唯一解。
当 $\lambda = 1$ 时，方程组变为：

即一个方程 $x_1 + x_2 + x_3 = -2$ ，故有无穷多解。
当 $\lambda = -2$ 时，方程组变为：

从后两个方程可得 $x_2 = x_3$ ，代入第二个方程得 $x_1 - x_2 = -2$ ，但代入第一个方程得 $x_1 - x_2 = \frac{5}{2}$ ，矛盾，故无解。
当 $\lambda = 1$ 时，导出组（齐次方程组）为 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ 。基础解系包含两个线性无关的解向量，取为 $\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。非齐次方程组的一个特解为 $\eta^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。故全部解为特解加上导出组基础解系的线性组合。

【答案】

【解析】 由条件 $A\alpha_i = i\alpha_i$ 可知， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 分别是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别为 $1, 2, 3$ 。构造矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 和对角矩阵 $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ ，则 $A = PDP^{-1}$ 。

计算 $P$ 的行列式： $\det(P) = -27 \neq 0$ ，故 $P$ 可逆。计算 $P^{-1}$ 得：

计算 $DP^{-1}$ ：

最后计算 $A = P \cdot (DP^{-1})$ ：

验证： $A\alpha_1 = \alpha_1$ ， $A\alpha_2 = 2\alpha_2$ ， $A\alpha_3 = 3\alpha_3$ ，满足条件。

【答案】 见解析

【解析】
设 $X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_X(x) = 2e^{-2x}$ ， $x \geq 0$ 。考虑 $Y = 1 - e^{-2X}$ 。当 $X = 0$ 时， $Y = 0$ ；当 $X \to \infty$ 时， $Y \to 1$ ，因此 $Y$ 的取值范围为 $(0,1)$ 。

求 $Y$ 的累积分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y)$ 。对于 $y \in (0,1)$ ，有：

由于 $X$ 的累积分布函数为 $F_X(x) = 1 - e^{-2x}$ ， $x \geq 0$ ，代入得：

因此，对于 $y \in (0,1)$ ， $F_Y(y) = y$ ，这正是区间 $(0,1)$ 上均匀分布的累积分布函数。对应概率密度函数为 $f_Y(y) = 1$ ， $y \in (0,1)$ 。故 $Y$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布。