卷 2

【答案】

【解析】 积分区域 $D$ 由 $0 \le y \le x$ 和 $x^2 + y^2 \le 2x$ 定义。将圆方程 $x^2 + y^2 \le 2x$ 化为标准形式： $(x-1)^2 + y^2 \le 1$ ，这是一个圆心在 $(1,0)$ 、半径为 1 的圆。由于被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 和区域特性，使用极坐标变换：令 $x = r \cos \theta$ ， $y = r \sin \theta$ ，则 $\sqrt{x^2 + y^2} = r$ ，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$ 。

区域 $D$ 在极坐标下的条件：由 $0 \le y \le x$ 得 $0 \le \theta \le \pi/4$ ，由圆方程得 $r \le 2 \cos \theta$ 。因此，积分变为：

先计算内积分：

代入外积分：

计算 $\int_{0}^{\pi/4} \cos^3 \theta \, d\theta$ ：

令 $u = \sin \theta$ ，则 $du = \cos \theta \, d\theta$ ，有：

代入上下限：

因此，

故积分为 $\frac{10\sqrt{2}}{9}$ 。

【答案】 基础解系为：

【解析】 给定齐次线性方程组：

写出系数矩阵：

对矩阵进行行化简：

1. 第二行减去第一行： $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ ，得： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
2. 第二行乘以 -1： $R_2 \leftarrow -R_2$ ，得： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
3. 第三行减去第二行： $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$ ，得： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 得到行阶梯形矩阵。秩为 3，变量个数为 5，故解空间维数为 2。从行阶梯形矩阵得方程： $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_5 = 0, \\ x_3 + x_5 = 0, \\ x_4 = 0 \end{cases}$ 令自由变量 $x_2 = a$ , $x_5 = b$ （ $a, b$ 为任意实数），则： $x_1 = -a - b, \quad x_3 = -b, \quad x_4 = 0$ 解向量为： $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 因此，基础解系为： $\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 验证可知，这两个向量线性无关且满足原方程组。