卷 5

【答案】
$-\frac{\sqrt{3}}{8}$

【解析】
给定函数 $y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ ，首先求一阶导数 $y^{\prime }$ 。

设 $u=x+\sqrt{1+x^2}$ ，则 $y=\ln u$ ，于是

计算 $u^{\prime }$ ：

代入得：

因此，

接下来求二阶导数 $y^{\prime \prime }$ ：

在 $x=\sqrt{3}$ 处，

所以

【答案】
$1-a+a^2-a^3+a^4-a^5$

【解析】
考虑行列式 $D_n$ 的递推关系。通过按第一行展开，得到

其中 $D_0=1$ ， $D_1=1-a$ 。

解特征方程

得根 $r=1$ 和 $r=-a$ ，因此通解为

代入初始条件：

• 当 $n=0$ 时， $A+B=1$ ；
• 当 $n=1$ 时， $A-aB=1-a$ 。

解得

所以

对于 $n=5$ ，有

因此，该 5 阶行列式的值为

【答案】 $\frac{11}{24}$

【解析】 每个零件的不合格概率为 $P_i=\frac{1}{i+1}$ ，因此合格概率为 $1-P_i=\frac{i}{i+1}$ 。具体地：

• 零件1合格概率： $\frac{1}{2}$
• 零件2合格概率： $\frac{2}{3}$
• 零件3合格概率： $\frac{3}{4}$

$X$ 表示合格品个数，求 $P\{X=2\}$ ，即恰好两个零件合格。考虑所有可能情况：

1. 零件1和2合格，零件3不合格：概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
2. 零件1和3合格，零件2不合格：概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{8}$
3. 零件2和3合格，零件1不合格：概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

将以上概率相加： $\frac{1}{12}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{2}{24}+\frac{3}{24}+\frac{6}{24}=\frac{11}{24}$ 。因此， $P\{X=2\}=\frac{11}{24}$ 。

【答案】

【解析】 给定函数 $f(x,y)={\int }_0^{xy}{e}^{-t^2}dt$ ，首先计算一阶偏导数：

接着计算二阶偏导数：

代入表达式：

计算各项：

合并得：

因此，结果为 $-2e^{-x^2{y}^2}$ .

【答案】
(1) 证明略（见解析）；
(2) 体积之比为 $\frac{19}{8}$ 。

【解析】
(1) 设抛物线方程为 $y=a(x-1)(x-3)$ ，其中 $a\ne 0$ 。两坐标轴与该抛物线所围图形的面积记为 $S_1$ ，即由 $x$ 轴、 $y$ 轴和抛物线从 $x=0$ 到 $x=1$ 所围成的区域面积。 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积记为 $S_2$ ，即由 $x$ 轴和抛物线从 $x=1$ 到 $x=3$ 所围成的区域面积。
计算 $S_1$ 和 $S_2$ ：

所以 $S_1=-a\cdot \frac{4}{3}$ 。

所以 $S_2=a\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-a\cdot \frac{4}{3}$ 。
因此 $S_1=S_2$ ，即两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积。

(2) 两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转体体积分别记为 $V_1$ 和 $V_2$ ：

计算积分：

对于 $I_1={\int }_0^1(x^2-4x+3{)}^{2}dx$ ：

对于 $I_2={\int }_1^3(x^2-4x+3{)}^{2}dx$ ：
在 $x=3$ 时：

在 $x=1$ 时：

所以 $I_2=\frac{18}{5}-\frac{38}{15}=\frac{54}{15}-\frac{38}{15}=\frac{16}{15}$ 。
因此，

故两个旋转体体积之比为 $\frac{19}{8}$ 。

【答案】 见解析

【解析】 因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由积分中值定理可知，在 $(a,b)$ 内存在一点 $c$ ，使得

因为 $f(x)$ 在 $[c,b]$ 上连续，在 $(c,b)$ 内可导，故由罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in (c,b)\subset (a,b)$ ，使 $f^{\prime }(\xi )=0$ 。

【答案】 当 $t\ne -2$ 时，方程组无解；当 $t=-2$ 时，方程组有解。
当 $t=-2$ 时，若 $p\ne -8$ ，则通解为

若 $p=-8$ ，则通解为

【解析】 写出增广矩阵：

进行行变换：

• $R_2\leftarrow R_2-2R_1$
• $R_3\leftarrow R_3-3R_1$
• $R_4\leftarrow R_4-R_1$
  得： ​1000​1−1−1−2​−2−2p+6−4​3−2−2−4​0−1−1t​​
• $R_2\leftarrow -R_2$
  得： ​1000​11−1−2​−22p+6−4​32−2−4​01−1t​​
• $R_1\leftarrow R_1-R_2$
• $R_3\leftarrow R_3+R_2$
• $R_4\leftarrow R_4+2R_2$
  得： ​1000​0100​−42p+80​1200​−110t+2​​ 由最后一行，当 $t+2\ne 0$ 即 $t\ne -2$ 时，方程组无解。当 $t=-2$ 时，方程组有解。
  当 $t=-2$ 时，由第三行：
• 若 $p\ne -8$ ，则 $x_3=0$ ，代入前两行得 $x_1=-1-x_4$ ， $x_2=1-2x_4$ ，通解由特解和导出组的基础解系线性组合表示。
• 若 $p=-8$ ，则 $x_3$ 自由，代入前两行得 $x_1=-1+4x_3-x_4$ ， $x_2=1-2x_3-2x_4$ ，通解由特解和导出组的基础解系线性组合表示。
  导出组的基础解系由行化简后的齐次方程组解得。

【答案】 $\frac{4}{3}$

【解析】 由条件 $|3E+A|=0$ 可知，矩阵 $3E+A$ 奇异，因此存在非零向量 $x$ 使得 $(3E+A)x=0$ ，即 $Ax=-3x$ ，所以 $-3$ 是 $A$ 的一个特征值。

由条件 $A{A}^T=2E$ 且 $A$ 为 $4$ 阶方阵，取行列式得 $|A||A^T|=|2E|$ ，即 $|A{|}^2=2^4=16$ ，所以 $|A|=\pm 4$ 。又由 $|A|<0$ ，故 $|A|=-4$ 。

伴随矩阵 $A^{\ast }$ 与逆矩阵 $A^{-1}$ 满足 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 。因此，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A^{\ast }$ 的特征值为 $|A|/\lambda$ 。代入 $\lambda =-3$ 和 $|A|=-4$ ，得 $A^{\ast }$ 的特征值为 $-4/(-3)=\frac{4}{3}$ 。

因此，方阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的一个特征值为 $\frac{4}{3}$ 。

【答案】
电路正常工作的时间 $T$ 服从参数为 $3\lambda$ 的指数分布，即 $T\sim \text{Exp}(3\lambda )$ 。

【解析】
设三个元件的无故障工作时间分别为 $X_1,X_2,X_3$ ，且相互独立，均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，即 $X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$ 。
电路正常工作的时间 $T$ 为三个元件寿命的最小值，即 $T=\min (X_1,X_2,X_3)$ 。

求 $T$ 的累积分布函数 $F_T(t)=P(T\le t)$ 。

其中 $P(T>t)$ 表示所有元件在时间 $t$ 都无故障的概率，即 $P(X_1>t,X_2>t,X_3>t)$ 。

由于元件相互独立，

对于指数分布， $P(X_i>t)=e^{-\lambda t}$ ，因此

于是，

这正好是参数为 $3\lambda$ 的指数分布的累积分布函数，因此 $T$ 服从参数为 $3\lambda$ 的指数分布。