卷 3

【答案】

【解析】 给定 $y = f(\ln x) \cdot e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 可微。

设

则

由乘积法则，

计算 $\dfrac{du}{dx}$ ：

计算 $\dfrac{dv}{dx}$ ：

代入乘积法则：

因此，

【答案】
$\frac{\pi}{4-\pi}$

【解析】
设 $I = \int_0^1 f(x) \, dx$ ，则原方程化为：

对两边从 0 到 1 积分：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

代入得：

整理方程：

解得：

因此， $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\pi}{4 - \pi}$ 。

【答案】
$y_t = C + (t - 2) 2^t$

【解析】
给定差分方程 $y_{t+1} - y_t = t 2^t$ ，首先求解齐次方程 $y_{t+1} - y_t = 0$ 。
齐次方程的特征方程为 $r - 1 = 0$ ，解得 $r = 1$ ，因此齐次解为 $y_h = C$ ，其中 $C$ 为常数。

接下来，求非齐次方程的特解。非齐次项为 $t 2^t$ ，假设特解形式为 $y_p = (At + B) 2^t$ 。代入原方程：

则

令其等于 $t 2^t$ ，得

比较系数：

• $A = 1$ ，
• $2A + B = 0$ 。

解得 $B = -2$ 。
因此特解为 $y_p = (t - 2) 2^t$ 。

通解为齐次解与特解之和：

【答案】 $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$

【解析】 二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+ x_2^2+ x_3^2+ 2x_1x_2 + tx_2x_3$ 的矩阵为：

二次型正定的充要条件是矩阵 $A$ 的所有顺序主子式大于零。
一阶主子式： $2 > 0$ 。
二阶主子式： $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 > 0$ 。
三阶主子式： $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} 1 & \frac{t}{2} \\ \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \left(1 - \frac{t^2}{4}\right) - 1 = 1 - \frac{t^2}{2}$ 。
要求 $1 - \frac{t^2}{2} > 0$ ，即 $t^2 < 2$ ，所以 $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ 。
因此， $t$ 的取值范围是 $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ 。

【答案】 t分布；9

【解析】 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且均服从 $N(0,3^2)$ ，则 $X_i \sim N(0,9)$ ， $Y_i \sim N(0,9)$ 。

分子 $S_X = \sum_{i=1}^9 X_i$ 服从正态分布， $S_X \sim N(0, 9 \times 9) = N(0,81)$ ，标准化后 $\frac{S_X}{9} \sim N(0,1)$ 。

分母涉及 $Y_i$ 的平方和：令 $Z_i = \frac{Y_i}{3} \sim N(0,1)$ ，则

故

因此

统计量

由于分子 $\frac{S_X}{9} \sim N(0,1)$ 与分母中的 $\chi^2(9)$ 相互独立，故 $U \sim t(9)$ ，即服从自由度为 9 的 t 分布。

【答案】 见解析

【解析】
因为 $\ln Q(x) = \ln A - \frac{1}{x} \ln [\delta K^{-x} + (1-\delta)L^{-x}]$ ，而且

所以

【答案】

【解析】
由于 $u = f(x, y, z)$ 且 $y = y(x)$ 和 $z = z(x)$ 是由方程 $e^{xy} - y = 0$ 和 $e^x - xz = 0$ 所确定的函数，根据链式法则，有：

需要求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dx}$ 。

对于方程 $e^{xy} - y = 0$ ，定义 $F(x, y) = e^{xy} - y$ ，利用隐函数求导法则：

计算偏导数：

代入得：

由方程 $e^{xy} - y = 0$ 得 $e^{xy} = y$ ，代入上式：

对于方程 $e^x - xz = 0$ ，定义 $G(x, z) = e^x - xz$ ，利用隐函数求导法则：

计算偏导数：

代入得：

由方程 $e^x - xz = 0$ 得 $e^x = xz$ ，代入上式：

将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dx}$ 代入链式法则公式，即得所求。

【答案】
(1) 销售量 $x = 10 - \frac{5}{2}t$
(2) $t = 2$

【解析】
(1) 商家的利润函数为 $\pi = (7 - 0.2x)x - (3x + 1) - t x$ 。简化得

这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标 $x = -\frac{b}{2a}$ ，其中 $a = -0.2$ , $b = 4 - t$ ，计算得

因此，商家获最大利润时的销售量为 $x = 10 - \frac{5}{2}t$ 。

(2) 政府税收总额 $T = t \times x = t \left(10 - \frac{5}{2}t\right) = 10t - \frac{5}{2}t^2$ 。这是一个关于 $t$ 的二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标 $t = -\frac{b}{2a}$ ，其中 $a = -\frac{5}{2}$ , $b = 10$ ，计算得

因此，当 $t = 2$ 时，政府税收总额最大。

【答案】 见解析

【解析】
显然 $x > 0$ 时， $F(x)$ 连续，又由洛必达法则知

所以 $F(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续。当 $x \in (0, +\infty)$ 时，由于

可见 $F(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调不减。

【答案】
(1) $\overline{OP_n} = \frac{1}{2^{n-1}}$
(2) 级数 $\overline{Q_1P_1} + \overline{Q_2P_2} + \cdots + \overline{Q_n P_n} + \cdots$ 的和为 $\frac{4}{3}$

【解析】
先作草图如下：

由 $y = x^2$ ，得 $y' = 2x$ 。对于任意 $a$ （ $0 < a \leq 1$ ），抛物线 $y = x^2$ 在点 $(a, a^2)$ 处的切线方程为 $y - a^2 = 2a(x - a)$ 。且该切线与 $x$ 轴的交点为 $\left( \frac{a}{2}, 0 \right)$ ，故由 $\overline{OP_1} = 1$ 可见

(II) 由于

利用几何级数求和公式即得

【答案】

【解析】 给定函数 $f(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，且满足方程：

首先，将积分转换为极坐标。令 $x = r \cos \theta$ ， $y = r \sin \theta$ ，则 $dx dy = r dr d\theta$ ，积分区域为 $r \le 2t$ ， $\theta \in [0, 2\pi]$ 。被积函数为 $f\left(\frac{r}{2}\right)$ ，因此：

令 $u = \frac{r}{2}$ ，则 $r = 2u$ ， $dr = 2 du$ ，积分限变为 $u \in [0, t]$ ：