卷 4

填空题

本题共5分，每小题3分，满分15分

1

同试卷 3 第 1 题

2

设 $f(x) = \frac{1}{1 + x^2} + x^3\int_0^1f(x)\dx$ ，则 $\int_0^1f(x)\dx =$ ______．

高等数学一元函数积分学定积分的计算

【答案】 $\frac{\pi}{3}$

【解析】
设 $A = \int_0^1 f(x) \, dx$ 。由题设方程

f(x) = \frac{1}{1 + x^2} + x^3 \int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{1 + x^2} + A x^3,

两边在区间 $[0, 1]$ 上积分得

A = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx + A \int_0^1 x^3 \, dx.

计算积分：

\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x \Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4}.

代入得

A = \frac{\pi}{4} + \frac{A}{4}.

解方程：

A - \frac{A}{4} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{3A}{4} = \frac{\pi}{4}, \quad A = \frac{\pi}{3}.

因此，

\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\pi}{3}.

3

设 $n$ 阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $|A|=$ ______．

线性代数行列式

【答案】 $(-1)^{n-1}(n-1)$

【解析】 设 $J$ 为 $n$ 阶全 1 矩阵，则 $A = J - I$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。
矩阵 $J$ 的特征值为 $n$ （单重）和 $0$ （ $n-1$ 重），因此 $A$ 的特征值为 $n-1$ 和 $-1$ （ $n-1$ 重）。
行列式为特征值的乘积，故

|A| = (n-1) \cdot (-1)^{n-1}.

4

设 $A$ , $B$ 是任意两个随机事件，则 $P\{(\bar A + B)(A + B)(\bar A + \bar B)(A + \bar B)\} =$ ______．

概率论与数理统计随机事件和概率

【答案】 0

【解析】
考虑事件 $E = (\bar A \cup B) \cap (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B) \cap (A \cup \bar B)$ 。

首先，简化 $(\bar A \cup B) \cap (A \cup B)$ 。通过集合运算，有

(\bar A \cup B) \cap (A \cup B) = B

类似地，简化 $(\bar A \cup \bar B) \cap (A \cup \bar B)$ ，得

(\bar A \cup \bar B) \cap (A \cup \bar B) = \bar B

因此，

E = B \cap \bar B = \emptyset

即 $E$ 是不可能事件。

故 $P(E) = 0$ 。

5

设随机变量 $X$ 服从参数为 $(2,p)$ 的二项分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 $(3,p)$ 的二项分布．若 $P\{X \ge 1\} = \frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \ge 1\} =$ ______．

概率论与数理统计随机变量及其分布

【答案】 $\frac{19}{27}$

【解析】
由 $X \sim B(2, p)$ 和 $P\{X \geq 1\} = \frac{5}{9}$ ，得

P\{X = 0\} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}.

由于 $P\{X = 0\} = (1-p)^2$ ，所以

(1-p)^2 = \frac{4}{9},

解得 $1-p = \frac{2}{3}$ （取正值），故

p = \frac{1}{3}.

对于 $Y \sim B(3, p)$ ，有

P\{Y \geq 1\} = 1 - P\{Y = 0\},

其中

P\{Y = 0\} = (1-p)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.

因此，

P\{Y \geq 1\} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}.

选择题

本题共5小题，每小题3分，满分15分

6

设 $f(x)$ , $\phi (x)$ 在点 $x = 0$ 的某邻域内连续，且当 $x \to 0$ 时， $f(x)$ 是 $\phi (x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \to 0$ 时， $\int_0^x f(t)\sin t\dt$ 是 $\int_0^x t\phi(t)\dt$ 的

高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较

正确答案：B

【解析】 给定当 $x \to 0$ 时， $f(x)$ 是 $\phi(x)$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\phi(x)} = 0$ 。需要比较 $\int_0^x f(t)\sin t\,dt$ 和 $\int_0^x t\phi(t)\,dt$ 的阶数。考虑极限：

\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t)\sin t\,dt}{\int_0^x t\phi(t)\,dt}

由于分子和分母在 $x \to 0$ 时均趋于 0，且被积函数连续，应用洛必达法则：

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t)\sin t\,dt}{\frac{d}{dx} \int_0^x t\phi(t)\,dt} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)\sin x}{x\phi(x)}

其中， $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 当 $x \to 0$ ，因此：

\lim_{x \to 0} \frac{f(x)\sin x}{x\phi(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\phi(x)} \cdot \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\phi(x)} \cdot 1 = 0

故 $\int_0^x f(t)\sin t\,dt$ 是 $\int_0^x t\phi(t)\,dt$ 的高阶无穷小。

7

同试卷 3 第 7 题

8

同试卷 3 第 8 题

9

非齐次线性方程组 $AX = b$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则

线性代数线性方程组

正确答案：A

对于非齐次线性方程组 $AX = b$ ，解存在的充要条件是系数矩阵 $A$ 的秩等于增广矩阵 $[A|b]$ 的秩。

选项 A 中，当 $r = m$ 时，由于 $A$ 的秩为 $m$ ，且增广矩阵有 $m$ 行，其秩最多为 $m$ ，因此增广矩阵的秩也为 $m$ ，即 $r(A) = r([A|b])$ ，方程组有解。
选项 B 错误，因为 $r = n$ 仅保证列满秩，但解可能不存在，例如当 $b$ 不在 $A$ 的列空间时。
选项 C 错误，因为 $m = n$ 时，若 $A$ 不可逆，方程组可能无解或有无穷多解。
选项 D 错误，因为 $r < n$ 时，若增广矩阵的秩大于 $r$ ，则方程组无解。

因此，只有选项 A 正确。

10

设 $X$ 是一随机变量， $EX = \mu$ , $DX = \sigma^2$ （ $\mu$ , $\sigma > 0$ 是常数），则对任意常数 $c$ ，必有

概率论与数理统计随机变量的数字特征数学期望与方差

正确答案：D

对于任意常数 $c$ ，有

E(X - c)^2 = E(X^2) - 2c\mu + c^2,

而

E(X - \mu)^2 = \sigma^2.

计算差值：

E(X - c)^2 - E(X - \mu)^2 = (c - \mu)^2 \geq 0,

因此

E(X - c)^2 \geq E(X - \mu)^2,

等号当且仅当 $c = \mu$ 时成立。

选项 A 错误，因为 $E(X - c)^2 = E(X^2) - 2c\mu + c^2$ ，并非 $E(X^2) - c^2$ ；
选项 B 错误，因为只有当 $c = \mu$ 时相等；
选项 C 错误，因为 $E(X - c)^2$ 从不小于 $E(X - \mu)^2$ 。

故正确答案为 D。

解答题

11

求极限 $\lim_{x \to 0} \left[\frac{a}{x} - \left(\frac{1}{x^2} - a^2 \right)\ln(1 + ax) \right]$ （ $a \ne 0$ ）．

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

【答案】 $\frac{a^2}{2}$

【解析】 考虑极限 $L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{a}{x} - \left( \frac{1}{x^2} - a^2 \right) \ln(1 + ax) \right]$ ，其中 $a \ne 0$ 。
使用泰勒展开 $\ln(1 + ax) = ax - \frac{(ax)^2}{2} + \frac{(ax)^3}{3} - \frac{(ax)^4}{4} + \cdots$ ，代入表达式：

\left( \frac{1}{x^2} - a^2 \right) \ln(1 + ax) = \left( \frac{1}{x^2} - a^2 \right) \left( ax - \frac{a^2 x^2}{2} + \frac{a^3 x^3}{3} - \frac{a^4 x^4}{4} + \cdots \right)

展开后：

= \frac{a}{x} - a^3 x - \frac{a^2}{2} + \frac{a^4 x^2}{2} + \frac{a^3 x}{3} - \frac{a^5 x^3}{3} - \frac{a^4 x^2}{4} + \frac{a^6 x^4}{4} + \cdots

原表达式为：

\frac{a}{x} - \left[ \frac{a}{x} - a^3 x - \frac{a^2}{2} + \frac{a^4 x^2}{2} + \frac{a^3 x}{3} - \frac{a^5 x^3}{3} - \frac{a^4 x^2}{4} + \frac{a^6 x^4}{4} + \cdots \right]

简化后：

a^3 x + \frac{a^2}{2} - \frac{a^4 x^2}{2} - \frac{a^3 x}{3} + \frac{a^5 x^3}{3} + \frac{a^4 x^2}{4} - \frac{a^6 x^4}{4} + \cdots

当 $x \to 0$ 时，所有含 $x$ 的项趋近于零，仅剩常数项 $\frac{a^2}{2}$ 。因此极限为 $\frac{a^2}{2}$ 。

或者，令 $t = ax$ ，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$ ，原式化为：

L = a^2 \lim_{t \to 0} \left[ \frac{1}{t} - \left( \frac{1}{t^2} - 1 \right) \ln(1 + t) \right]

计算内极限：

\lim_{t \to 0} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) + \ln(1 + t) \right]

利用 $\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$ ，有：

\frac{1}{t^2} \ln(1 + t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{2} + \frac{t}{3} - \cdots

所以：

\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) = \frac{1}{2} - \frac{t}{3} + \cdots

加上 $\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \cdots$ ，得：

\left( \frac{1}{2} - \frac{t}{3} + \cdots \right) + \left( t - \frac{t^2}{2} + \cdots \right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} t + \cdots

当 $t \to 0$ 时，内极限为 $\frac{1}{2}$ ，故 $L = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$ 。
两种方法均得极限为 $\frac{a^2}{2}$ 。

12

同试卷 3 第 12 题

13

假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $p$ （单位:元）的函数： $Q = 12000 - 80p$ ；商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数： $C = 25000 + 50Q$ ；每单位商品需要纳税 $2$ 元．试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额．

高等数学一元函数微分学函数的单调性、极值与最值

【答案】
商品单价为101元，最大利润额为167080元。

【解析】
利润函数为 $L = pQ - C - 2Q$ ，其中 $Q = 12000 - 80p$ ， $C = 25000 + 50Q$ 。
代入得：

L = p(12000 - 80p) - (25000 + 50Q) - 2(12000 - 80p)

简化后：

L = -80p^2 + 16160p - 649000

这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标为 $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{16160}{2 \times (-80)} = 101$ 。
代入 $p = 101$ 得最大利润：

L = -80 \times 101^2 + 16160 \times 101 - 649000 = 167080

因此，商品单价为101元时，利润最大，最大利润额为167080元。

14

求曲线 $y = x^2 - 2x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$ 所围成的平面图形的面积 $S$ ，并求该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．

高等数学一元函数积分学定积分的应用

【答案】
面积 $S = 2$ ，体积 $V = 9\pi$ 。

【解析】
求面积 $S$ ：曲线 $y = x^2 - 2x$ 与 $y = 0$ （即 $x$ 轴）以及直线 $x = 1$ 、 $x = 3$ 所围成的图形在区间 $[1, 3]$ 上部分位于 $x$ 轴下方。因此，面积需取绝对值积分：

S = \int_{1}^{3} |x^2 - 2x| \, dx

在区间 $[1, 2]$ 上， $x^2 - 2x < 0$ ，故 $|x^2 - 2x| = 2x - x^2$ ；在区间 $[2, 3]$ 上， $x^2 - 2x > 0$ ，故 $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$ 。
于是：

S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx

计算第一积分：

\int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

计算第二积分：

\int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{3} = \left(9 - 9\right) - \left(\frac{8}{3} - 4\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}

所以：

S = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2

求体积 $V$ ：该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周，使用柱壳法，体积公式为：

V = 2\pi \int_{1}^{3} x \cdot |x^2 - 2x| \, dx

同样分段计算：

V = 2\pi \left[ \int_{1}^{2} x (2x - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} x (x^2 - 2x) \, dx \right]

计算第一积分：

\begin{align*} \int_{1}^{2} x (2x - x^2) \, dx &= \int_{1}^{2} (2x^2 - x^3) \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{4}{3} - \frac{5}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{align*}

计算第二积分：

\begin{align*} \int_{2}^{3} x (x^2 - 2x) \, dx &= \int_{2}^{3} (x^3 - 2x^2) \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{2}^{3} \\ &= \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - \left( 4 - \frac{16}{3} \right) \\ &= \frac{9}{4} - \left( -\frac{4}{3} \right) \\ &= \frac{9}{4} + \frac{4}{3} \\ &= \frac{43}{12} \end{align*}

所以：

V = 2\pi \left( \frac{11}{12} + \frac{43}{12} \right) = 2\pi \cdot \frac{54}{12} = 2\pi \cdot \frac{9}{2} = 9\pi

15

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty , +\infty)$ 内连续，且 $F(x) = \int_0^x (x - 2t) f(t)\dt$ ．试证：

(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；

(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减．

高等数学一元函数积分学变限积分

【答案】 见解析

【解析】
(Ⅰ) 令 $t = -u$ ，有

F(-x) = \int_{0}^{-x} (-x-2t)f(t)dt = -\int_{0}^{x} (-x+2u)f(-u)du

即 $F(x)$ 为偶函数。

(Ⅱ) 由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 0 和 $x$ 之间，使得

F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt - xf(x) = x[f(\xi) - f(x)].

由已知 $f(x)$ 单调不减，可见

当 $x > 0$ 时， $f(\xi) - f(x) \geq 0$ ，故 $F'(x) \geq 0$ ;
当 $x = 0$ 时，显然 $F'(x) = 0$ ;
当 $x < 0$ 时， $f(\xi) - f(x) \leq 0$ ，故 $F'(x) \geq 0$ 。

总之，当 $x \in (-\infty, +\infty)$ 时，总有 $F'(x) \geq 0$ ，从而 $F(x)$ 单调不减。

16

设 $D$ 是以点 $O(0,0)$ , $A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 为顶点的三角形区域，求 $\iint_Dx\dx\dy$ ．

高等数学多元函数积分学重积分的计算

【答案】 $\frac{3}{2}$

【解析】 三角形区域 $D$ 由点 $O(0,0)$ 、 $A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 围成。边界直线为：从 $O$ 到 $A$ 的 $y = 2x$ ，从 $O$ 到 $B$ 的 $y = \frac{1}{2}x$ ，以及从 $A$ 到 $B$ 的 $y = -x + 3$ 。为计算二重积分 $\iint_D x \, dx \, dy$ ，将区域按 $x$ 分为两部分：当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时， $y$ 从 $\frac{1}{2}x$ 到 $2x$ ；当 $x$ 从 $1$ 到 $2$ 时， $y$ 从 $\frac{1}{2}x$ 到 $-x + 3$ 。于是：

\iint_D x \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{\frac{1}{2}x}^{2x} x \, dy \, dx + \int_{1}^{2} \int_{\frac{1}{2}x}^{-x+3} x \, dy \, dx.

计算第一部分：

\begin{align*} \int_{0}^{1} \int_{\frac{1}{2}x}^{2x} x \, dy \, dx &= \int_{0}^{1} x \left[ y \right]_{\frac{1}{2}x}^{2x} \, dx = \int_{0}^{1} x \left( 2x - \frac{1}{2}x \right) \, dx \\ &= \int_{0}^{1} x \cdot \frac{3}{2}x \, dx = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}x^2 \, dx \\ &= \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{2}. \end{align*}

计算第二部分：

\begin{align*} \int_{1}^{2} \int_{\frac{1}{2}x}^{-x+3} x \, dy \, dx &= \int_{1}^{2} x \left[ y \right]_{\frac{1}{2}x}^{-x+3} \, dx \\ &= \int_{1}^{2} x \left( -x + 3 - \frac{1}{2}x \right) \, dx \\ &= \int_{1}^{2} x \left( -\frac{3}{2}x + 3 \right) \, dx \\ &= \int_{1}^{2} \left( -\frac{3}{2}x^2 + 3x \right) \, dx. \end{align*}

求积分：

\begin{align*} \int_{1}^{2} \left( -\frac{3}{2}x^2 + 3x \right) \, dx &= \left[ -\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{1}^{2} \\ &= \left( -\frac{1}{2}(8) + \frac{3}{2}(4) \right) - \left( -\frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2}(1) \right) \\ &= (-4 + 6) - (-0.5 + 1.5) \\ &= 2 - 1 \\ &= 1. \end{align*}

因此，总积分为：

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.

或者，利用质心性质：三角形面积為 $\frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} |1 \cdot 1 - 2 \cdot 2| = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ ，质心 $x$ 坐标为 $\frac{0+1+2}{3} = 1$ ，故 $\iint_D x \, dx \, dy = \text{} x \times \text{} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ 。两种方法结果一致。

17

同试卷 3 第 17 题

18

设矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，且 $A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 4 & - 2 \\ -3 & - 3 & a \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$ ，

(1) 求 $a$ , $b$ 的值；

(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} AP = B$ ．

线性代数矩阵的相似与相似对角化

【答案】
(1) $a=5$ , $b=6$
(2) 可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ 。（ $P$ 的取法不唯一，只要列向量是对应特征值的线性无关特征向量即可）

【解析】
矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则它们有相同的特征多项式。

(1) 求 $a$ , $b$ 的值

计算 $A$ 的特征多项式：

\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda - 4 & 2 \\ 3 & 3 & \lambda - a \end{vmatrix} = \lambda^3 - (a+5)\lambda^2 + (5a+3)\lambda + (-6a+6).

$B$ 的特征多项式为：

\det(\lambda I - B) = (\lambda-2)^2(\lambda-b) = \lambda^3 - (b+4)\lambda^2 + (4b+4)\lambda - 4b.

比较系数得：

\begin{cases} a+5 = b+4, \\ 5a+3 = 4b+4, \\ -6a+6 = -4b. \end{cases}

解得 $a = 5$ ， $b = 6$ 。

因此， $\boxed{a=5}$ ， $\boxed{b=6}$ 。

(2) 求可逆矩阵 $P$

当 $a=5$ ， $b=6$ 时，

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

求 $A$ 的特征值与特征向量：

特征值 $\lambda_1 = 2$ （二重），解 $(A-2I)x=0$ ：

A-2I = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

得基础解系：

\xi_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\quad \xi_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.

特征值 $\lambda_2 = 6$ ，解 $(A-6I)x=0$ ：

A-6I = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

得基础解系：

\xi_3 = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}.

取

P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix},

则 $P$ 可逆，且满足 $P^{-1}AP = B$ 。

因此，可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ 。

19

假设随机变量 $X$ 的绝对值不大于 $1$ ； $P\{X = - 1\} = \frac{1}{8},P\{X = 1\} = \frac{1}{4}$ ；在事件 $\{- 1 < X < 1\}$ 出现的条件下， $X$ 在 $(- 1,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求：

(1) $X$ 的分布函数 $F(x) = P\{X \le x\}$ ；

(2) $X$ 取负值的概率 $p$ ．

概率论与数理统计随机变量及其分布

【答案】
(1) $X$ 的分布函数为：

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ } x < -1 \\ \frac{5x + 7}{16} & \text{ } -1 \le x < 1 \\ 1 & \text{ } x \geq 1 \end{cases}

(2) $X$ 取负值的概率 $p = \frac{7}{16}$ 。

【解析】
(1) 由 $X$ 的绝对值不大于 1，可得：当 $x<-1$ 时， $F(x)=P\{X \leq x\}=0$ ; 当 $x \geq 1$ 时， $F(x)=P\{X \leq x\}=1$ 。又 $P\{X=-1\}=\frac{1}{8}, P\{X=1\}=\frac{1}{4}$ ，则

P\{-1<x<1\}=1-P\{X=-1\}-P\{X=1\}=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}.

由题意 $X$ 在 $(-1,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，那么当 $X$ 的值属于 $(-1,1)$ 的条件下，事件 $\{-1<X\leq x\}$ 的条件概率为：

P\{-1<X\leq x|-1<X<1\}=k\frac{x-(-1)}{1-(-1)}=k\frac{x+1}{2},

其中 $k$ 为比例正常数。又 $P\{-1<X<1|-1<X<1\}=1$ ，而

P\{-1<X<1|-1<X<1\}=k\frac{1+1}{2}=k,

所以 $k=1$ ，故

P\{-1<X\leq x|-1<X<1\}=\frac{x+1}{2}.

当 $-1<x<1$ 时， $\{-1<X\leq x\}=\{-1<X\leq x\}\cap\{-1<X<1\}$ ，所以

P\{-1<X\leq x\}=P\{-1<X\leq x,-1<X<1\}.

由条件概率公式，有

P\{-1<X\leq x\}=P\{-1<X\leq x,-1<X<1\}

=P\{-1<X\leq x|-1<X<1\}P\{-1<X<1\}

=\frac{x+1}{2}\times\frac{5}{8}=\frac{5x+5}{16},

F(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq -1\}+P\{-1<X\leq x\},

而

P\{X\leq -1\}=P\{X=-1\}+P\{X<-1\}=\frac{1}{8}+0=\frac{1}{8},

所以

F(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq -1\}+P\{-1<X\leq x\}=\frac{1}{8}+\frac{5x+5}{16}=\frac{5x+7}{16},

故所求的 $X$ 的分布函数为

F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1; \\ \frac{5x+7}{16}, & -1\leq x<1; \\ 1, & x\geq 1. \end{cases}

(II) $X$ 取负值的概率 $p=P\{X<0\}=F(0)-P\{X=0\}=F(0)=\frac{7}{16}$ .

20

假设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda = 1$ 的指数分布，随机变量 $X_k = \begin{cases} 0, & Y \le k, \\ 1, & Y > k \end{cases}$ （ $k = 1,2$ ），求：

(1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布；

(2) $E(X_1 + X_2)$ ．

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

【答案】
(1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布为：
$P(X_1=0, X_2=0) = 1 - \frac{1}{e}$ ，
$P(X_1=0, X_2=1) = 0$ ，
$P(X_1=1, X_2=0) = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}$ ，
$P(X_1=1, X_2=1) = \frac{1}{e^2}$ 。
(2) $E(X_1 + X_2) = \frac{1}{e} + \frac{1}{e^2}$ 。

【解析】
随机变量 $Y$ 服从参数 $\lambda = 1$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_Y(y) = e^{-y}$ ， $y \geq 0$ 。
$X_k$ 的定义为：当 $Y \leq k$ 时 $X_k = 0$ ，当 $Y > k$ 时 $X_k = 1$ （ $k = 1, 2$ ）。

(1) 联合概率分布的计算基于 $Y$ 的取值范围：

$P(X_1=0, X_2=0) = P(Y \leq 1) = \int_0^1 e^{-y} \, dy = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$ 。
$P(X_1=0, X_2=1) = P(Y \leq 1 \text{ 且 } Y > 2) = 0$ ，因为事件不可能发生。
$P(X_1=1, X_2=0) = P(1 < Y \leq 2) = \int_1^2 e^{-y} \, dy = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}$ 。
$P(X_1=1, X_2=1) = P(Y > 2) = \int_2^\infty e^{-y} \, dy = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ 。

验证概率之和为 1：

(1 - \frac{1}{e}) + 0 + (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}) + \frac{1}{e^2} = 1

(2) 计算 $E(X_1 + X_2)$ ：

由于期望的线性性质， $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$ 。
$X_1$ 和 $X_2$ 均为伯努利随机变量：

$E(X_1) = P(X_1=1) = P(Y > 1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$ 。
$E(X_2) = P(X_2=1) = P(Y > 2) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ 。

因此，

E(X_1 + X_2) = \frac{1}{e} + \frac{1}{e^2}