卷 4

【答案】

【解析】 这是一个关于方阵行列式性质的计算问题。我们可以利用行列式的运算规则逐步求解。

核心公式回顾 在 $n$ 阶矩阵的运算中，我们需要用到以下性质：

1. 数乘性质： $∣kA∣=k^{n}∣A∣$
2. 乘积性质： $∣AB∣=∣A∣\cdot ∣B∣$
3. 伴随矩阵性质： $∣A^{\ast }∣=∣A∣^{n-1}$
4. 逆矩阵性质： $∣B^{-1}∣=\frac{1}{∣B∣}$

计算步骤 根据上述性质，对式子进行化简：

1. 提取常数因子：由于 $A^{\ast }$ 和 $B^{-1}$ 都是 $n$ 阶矩阵，它们的乘积也是 $n$ 阶矩阵。提取常数 $2$ 时需要取 $n$ 次方：

   $$|2A^{\ast }B^{-1}∣=2^{n}∣A^{\ast }B^{-1}|$$

2. 拆分行列式：利用乘积性质拆分：

   $$2^{n}∣A^{\ast }B^{-1}∣=2^{n}\cdot ∣A^{\ast }∣\cdot ∣B^{-1}∣$$

3. 代入伴随和逆的性质：将 $∣A^{\ast }∣=∣A∣^{n-1}$ 和 $∣B^{-1}∣=\frac{1}{∣B∣}$ 代入：

   $$2^{n}\cdot |A|^{n-1}\cdot \frac{1}{∣B∣}$$

4. 代入已知数值：已知 $∣A∣=2,∣B∣=-3$ ：

   $$∣2A^{\ast }B^{-1}∣=2^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \frac{1}{-3}$$

5. 化简结果：利用幂的运算法则 $2^{n}\cdot 2^{n-1}=2^{2n-1}$ ：

   $$∣2A^{\ast }B^{-1}∣=\frac{2^{2n-1}}{-3}=-\frac{2^{2n-1}}{3}$$

【答案】
$p = \frac{1}{2}$ ，最大值为 $5$

【解析】
成功次数服从二项分布，试验次数 $n = 100$ ，成功概率 $p$ 。
二项分布的标准差为

由于 $n$ 固定，最大化 $\sigma$ 等价于最大化 $p(1-p)$ 。
设 $f(p) = p(1-p)$ ，这是一个二次函数，开口向下。
求导得

令导数为零，解得

此时 $f(p)$ 取得最大值 $\frac{1}{4}$ 。
因此，标准差的最大值为

【答案】 $e^{\frac{1}{3}}$

【解析】
考虑极限 $\lim_{n \to \infty} \left(n \tan \frac{1}{n} \right)^{n^2}$ 。这是一个 $1^\infty$ 型不定式，令 $L = \lim_{n \to \infty} \left(n \tan \frac{1}{n} \right)^{n^2}$ ，则 $\ln L = \lim_{n \to \infty} n^2 \ln \left(n \tan \frac{1}{n} \right)$ 。
令 $x = \frac{1}{n}$ ，当 $n \to \infty$ 时 $x \to 0^+$ ，则

当 $x \to 0$ 时， $\tan x \sim x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ ，所以 $\frac{\tan x}{x} \sim 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4)$ 。
因此，

于是

故 $\ln L = \frac{1}{3}$ ，即 $L = e^{\frac{1}{3}}$ 。

【答案】 见解析

【解析】 令 $g(x) = e^x f(x)$ ，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g(a) = e^a f(a) = e^a$ ， $g(b) = e^b f(b) = e^b$ 。由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ ，使得

又因为 $g'(x) = e^x [f(x) + f'(x)]$ ，所以

考虑函数 $h(x) = e^x$ ，它在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得

即

因此，

即

故存在 $\xi, \eta \in (a,b)$ 使得所述等式成立。

【答案】
(1) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，最小值为 $\frac{2 - \sqrt{2}}{6}$
(2) 旋转体的体积为 $\frac{\pi}{30} (1 + \sqrt{2})$

【解析】
(1) 直线 $y = ax$ 与抛物线 $y = x^2$ 的交点为 $x = 0$ 和 $x = a$ 。当 $a < 1$ 时，面积 $S_1$ 和 $S_2$ 定义为：

• 若 $a > 0$ ，则
  $S_1 = \int_0^a (ax - x^2) \, dx,\quad S_2 = \int_a^1 (x^2 - ax) \, dx$
• 若 $a < 0$ ，则
  $S_1 = \int_a^0 (ax - x^2) \, dx,\quad S_2 = \int_0^1 (x^2 - ax) \, dx$

计算得

或

令 $f(a) = S_1 + S_2$ ，求导得

或

当 $a < 0$ 时， $f'(a) < 0$ ，函数单调递减；
当 $a > 0$ 时， $f'(a) = 0$ 对应 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且

• 当 $a < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $f'(a) < 0$ ，
• 当 $a > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $f'(a) > 0$ ，
  故 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取得最小值。

代入得最小值为

(2) 当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积为：

代入 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $a^2 = \frac{1}{2}$ ，计算得：

【答案】 (1) 方程组①的通解为：

其中导出组的基础解系为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。

(2) 当 $m = 2$ ， $n = 4$ ， $t = 6$ 时，方程组①与②同解。

【解析】 (1) 对于方程组①，写出增广矩阵：

通过行变换：

• $R2 \leftarrow R2 - 4R1$ ， $R3 \leftarrow R3 - 3R1$ ，得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -5 & -1 & 7 & 25 \\ 0 & -4 & -1 & 6 & 21 \end{array}\right)$
• $R3 \leftarrow R3 - R2$ ，得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -5 & -1 & 7 & 25 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right)$
• $R1 \leftarrow R1 - R3$ ， $R2 \leftarrow R2 + 5R3$ ，得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right)$
• 交换 $R2$ 和 $R3$ ，并令 $R3 \leftarrow -R3$ ，得： $\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -5 \end{array}\right)$ 对应方程组： $\begin{cases} x_1 - x_4 = -2 \\ x_2 - x_4 = -4 \\ x_3 - 2x_4 = -5 \end{cases}$ 解得： $x_1 = -2 + x_4, \quad x_2 = -4 + x_4, \quad x_3 = -5 + 2x_4$ 令 $x_4 = k$ （自由变量），通解为： $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 导出组的基础解系为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

(2) 对于方程组②，要求与①同解。将①的通解 $x_1 = -2 + k$ ， $x_2 = -4 + k$ ， $x_3 = -5 + 2k$ ， $x_4 = k$ 代入②：

• 代入第一方程： $x_1 + m x_2 - x_3 - x_4 = -5$
  即 $(-2 + k) + m(-4 + k) - (-5 + 2k) - k = -5$
  化简得： $(3 - 4m) + (m - 2)k = -5$
  需对任意 $k$ 成立，故： $\begin{cases} 3 - 4m = -5 \\ m - 2 = 0 \end{cases}$ 解得 $m = 2$ .
• 代入第二方程： $n x_2 - x_3 - 2x_4 = -11$
  即 $n(-4 + k) - (-5 + 2k) - 2k = -11$
  化简得： $(-4n + 5) + (n - 4)k = -11$
  需对任意 $k$ 成立，故： $\begin{cases} -4n + 5 = -11 \\ n - 4 = 0 \end{cases}$ 解得 $n = 4$ .
• 代入第三方程： $x_3 - 2x_4 = -t + 1$
  即 $(-5 + 2k) - 2k = -5$
  故 $-5 = -t + 1$ ，解得 $t = 6$ . 当 $m = 2$ ， $n = 4$ ， $t = 6$ 时，方程组②与①同解。

【答案】
21

【解析】
设进货量为 $a$ （ $a$ 为整数，且 $10 \leq a \leq 30$ ），需求量 $X$ 服从区间 $[10, 30]$ 上的均匀分布，概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{20}$ 。

利润函数为：

• 当 $X \leq a$ 时， $\pi(X, a) = 500X - 100(a - X) = 600X - 100a$ ；
• 当 $X > a$ 时， $\pi(X, a) = 500a + 300(X - a) = 300X + 200a$ 。

期望利润为：

计算积分：

积分和为：

期望利润：

要求 $E[\pi] \geq 9280$ ，即：

整理得：

乘以 $-1$ 得：

为消除小数，乘以 2：

解二次方程 $15a^2 - 700a + 8060 = 0$ ：

判别式 $D = (-700)^2 - 4 \times 15 \times 8060 = 490000 - 483600 = 6400$ ，

根为 $a = \frac{700 \pm \sqrt{6400}}{2 \times 15} = \frac{700 \pm 80}{30}$ ，

即 $a_1 = \frac{620}{30} = \frac{62}{3} \approx 20.666$ ， $a_2 = \frac{780}{30} = 26$ 。

不等式解为 $a \in \left[ \frac{62}{3}, 26 \right]$ 。由于 $a$ 为整数，故 $a = 21, 22, 23, 24, 25, 26$ 。

验证 $a = 20$ 时 $E[\pi] = 9250 < 9280$ ， $a = 21$ 时 $E[\pi] = 9292.5 \geq 9280$ ，因此最小进货量为 21。

【答案】 (1) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布为：

(2) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的相关系数 $\rho = -\frac{2}{3}$ .

【解析】
(1) 由于产品等级互斥，抽到一等品时 $X_1=1$ 、 $X_2=0$ ，概率为 $80/100=0.8$ ；抽到二等品时 $X_1=0$ 、 $X_2=1$ ，概率为 $10/100=0.1$ ；抽到三等品时 $X_1=0$ 、 $X_2=0$ ，概率为 $10/100=0.1$ ；同时抽到一等品和二等品不可能，故 $P(X_1=1, X_2=1)=0$ 。联合分布如上所示。

(2) 计算相关系数 $\rho$ 。
首先，

协方差

方差

标准差

相关系数