卷 1

【答案】 $\frac{1}{3}$

【解析】 考虑极限 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x}\right)$ 。首先，将表达式重写为：

合并分式，公共分母为 $x^2\sin x$ ：

因此，原极限化为：

使用泰勒展开： $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$ ， $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$ 。代入分子：

分母：

所以：

因此，极限为 $\frac{1}{3}$ 。

【答案】 $\sin (x^2)$

【解析】 考虑积分 ${\int }_0^x\sin \left((x-t{)}^2\right)dt$ 。令 $u=x-t$ ，则当 $t=0$ 时， $u=x$ ；当 $t=x$ 时， $u=0$ 。且 $du=-dt$ ，即 $dt=-du$ 。代入积分得：

因此，原积分化为 ${\int }_0^x\sin (u^2)du$ 。由微积分基本定理，对该积分求导得：

故原导数为 $\sin (x^2)$ 。

【答案】
$y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{1}{4}x{e}^{2x}$

【解析】
给定微分方程 $y^{\prime \prime }-4y=e^{2x}$ ，首先求解齐次方程 $y^{\prime \prime }-4y=0$ 。特征方程为 $r^2-4=0$ ，解得 $r=\pm 2$ ，因此齐次解为 $y_h=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$ 。
由于非齐次项 $e^{2x}$ 是齐次解的一部分，设特解为 $y_p=Ax{e}^{2x}$ 。计算导数： $y_p^{\prime }=A{e}^{2x}(1+2x)$ ， $y_p^{\prime \prime }=4A{e}^{2x}(1+x)$ 。代入原方程得 $4A{e}^{2x}(1+x)-4Ax{e}^{2x}=4A{e}^{2x}=e^{2x}$ ，解得 $A=\frac{1}{4}$ ，因此特解为 $y_p=\frac{1}{4}x{e}^{2x}$ 。
通解为齐次解与特解之和，即 $y=y_h+y_p=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{1}{4}x{e}^{2x}$ 。

【答案】
$n$ 和 $0$ （其中 $0$ 的重数为 $n-1$ ）

【解析】
矩阵 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，所有元素均为 1。由于所有行相同，矩阵的秩为 1。对于秩为 1 的矩阵，有且仅有一个非零特征值，其余特征值均为 0。
考虑向量 $\mathbf{v}=(1,1,\dots ,1{)}^T$ ，计算 $A\mathbf{v}$ ：

因此， $\mathbf{v}$ 是特征向量，对应特征值为 $n$ 。
对于任何与 $\mathbf{v}$ 正交的向量 $\mathbf{x}$ ，有 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{x}=0$ ，则 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}{\mathbf{v}}^T\mathbf{x}=\mathbf{v}\cdot 0=0$ ，即 $A\mathbf{x}=0\mathbf{x}$ ，因此特征值为 0。由于正交补的维数为 $n-1$ ，故有 $n-1$ 个特征值为 0。
综上， $A$ 的 $n$ 个特征值为 $n$ 和 $0$ （重数 $n-1$ ）。

【答案】 $\frac{1}{4}$

【解析】 设 $P(A)=P(B)=P(C)=p$ ，其中 $p<\frac{1}{2}$ 。由于事件 $A,B,C$ 两两独立，且 $ABC=\varnothing$ ，即 $P(A\cap B\cap C)=0$ ，则并集概率公式为：

代入两两独立条件 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=p^2$ ，同理 $P(A\cap C)=p^2$ ， $P(B\cap C)=p^2$ ，以及 $P(A\cap B\cap C)=0$ ，得：

已知 $P(A\cup B\cup C)=\frac{9}{16}$ ，所以：

两边除以 3：

整理为二次方程：

乘以 16 消去分母：

解二次方程，判别式 $D=(-16{)}^2-4\times 16\times 3=256-192=64$ ，则：

得 $p=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$ 或 $p=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$ 。由于 $p<\frac{1}{2}$ ，故 $p=\frac{1}{4}$ 。验证：当 $p=\frac{1}{4}$ 时， $P(A\cup B\cup C)=3\times \frac{1}{4}-3\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}-\frac{3}{16}=\frac{12}{16}-\frac{3}{16}=\frac{9}{16}$ ，满足条件。因此 $P(A)=\frac{1}{4}$ 。

【答案】

其中 $F_x,F_y,F_z$ 分别表示 $F(x,y,z)$ 对 $x,y,z$ 的偏导数。

【解析】 给定方程 $z=xf(x+y)$ 和 $F(x,y,z)=0$ ，其中 $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$ 是由这两个方程确定的函数， $f$ 具有一阶连续导数， $F$ 具有一阶连续偏导数。

首先，对方程 $z=xf(x+y)$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：

整理得：

其次，对方程 $F(x,y,z)=0$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 和 $z$ 是 $x$ 的函数：

记 $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}$ , $F_y=\frac{\partial F}{\partial y}$ , $F_z=\frac{\partial F}{\partial z}$ ，则：

现在，方程组 (1) 和 (2) 关于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 和 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 线性：

其中 $f=f(x+y)$ , $f^{\prime }=f^{\prime }(x+y)$ 。

使用克莱姆法则求解 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 。系数矩阵行列式为：

替换第一列为常数项后的行列式：

因此，

即所求结果。

【答案】

【解析】 首先，注意到被积函数中的 $e^x\sin y$ 和 $e^x\cos y$ 部分与函数 $U(x,y)=e^x\sin y$ 的全微分有关，即 $dU=e^x\sin ydx+e^x\cos ydy$ 。因此，积分可重写为：

由于 $U(O)=e^0\sin 0=0$ 和 $U(A)=e^{2a}\sin 0=0$ ，有 $U(O)-U(A)=0$ ，所以：

接下来，计算积分 ${\int }_L(x+y)dx$ 和 ${\int }_{L}xdy$ 。曲线 $L$ 是从 $A(2a,0)$ 到 $O(0,0)$ 沿上半圆 $y=\sqrt{2ax-x^2}$ ，即 $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ （ $y\ge 0$ ）。考虑封闭曲线 $C$ 由 $L$ 和从 $O$ 到 $A$ 沿 $x$ 轴的线段 $L_1$ 组成，方向为逆时针。

对于 ${\int }_L(x+y)dx$ ，令 $P=x+y$ ， $Q=0$ ，则：

由格林定理：

又：

在 $L_1$ 上， $y=0$ ，从 $x=0$ 到 $x=2a$ ，有：

所以：

对于 ${\int }_{L}xdy$ ，令 $P=0$ ， $Q=x$ ，则：

由格林定理：

又：

在 $L_1$ 上， $y=0$ ， $dy=0$ ，所以 ${\int }_{L_1}xdy=0$ ，因此：

代入 $I$ ：

整理得：

【答案】

【解析】
设曲线方程为 $y=y(x)$ ，满足 $y^{\prime }(x)>0$ ， $y(0)=1$ 。过点 $P(x,y)$ 作曲线的切线和 $x$ 轴的垂线，两直线与 $x$ 轴围成三角形，其面积记为 $S_1$ ；区间 $[0,x]$ 上以曲线为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ 。已知 $2S_1-S_2\equiv 1$ ，求曲线方程。

首先，计算 $S_1$ 。点 $P$ 坐标为 $(x,y)$ ，曲线在 $P$ 处的切线斜率为 $y^{\prime }$ ，切线方程为：

切线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，令 $Y=0$ ，得：

垂线与 $x$ 轴交于点 $B=(x,0)$ 。三角形顶点为 $A=\left(x-\frac{y}{y^{\prime }},0\right)$ ， $B=(x,0)$ ， $P=(x,y)$ 。三角形底边 $AB$ 长度为 $\frac{y}{y^{\prime }}$ ，高为 $y$ ，故面积为：

曲边梯形面积 $S_2$ 为：

由条件 $2S_1-S_2=1$ ，代入得：

对式 (1) 关于 $x$ 求导（记 $y=y(x)$ ， $y^{\prime }=y^{\prime }(x)$ ）：

计算导数：

代入得：

由于 $y>0$ （由 $y(0)=1$ 和 $y^{\prime }>0$ 可知），两边乘以 $\frac{(y^{\prime }{)}^2}{y}$ ：

积分得：

由 $y^{\prime }=Cy$ ，解得：

利用初始条件 $y(0)=1$ ，得 $A=1$ ，故：

为确定 $C$ ，利用条件 (1) 在 $x=0$ 处的值。当 $x=0$ 时， $S_2=0$ ，计算 $S_1$ ： 点 $P(0,1)$ ，切线斜率为 $y^{\prime }(0)=C$ ，切线与 $x$ 轴交于点 $\left(-\frac{1}{C},0\right)$ ，垂线为 $x=0$ ，三角形面积为：

代入条件：

因此，曲线方程为：

验证： $y=e^x$ ，则 $y^{\prime }=e^x$ ， $S_1=\frac{e^{2x}}{2e^x}=\frac{e^x}{2}$ ， $2S_1=e^x$ ， $S_2={\int }_0^x{e}^{t}dt=e^x-1$ ，故 $2S_1-S_2=e^x-(e^x-1)=1$ ，满足条件。

故所求曲线方程为 $y=e^x$ 。

【解析】

当 $x=1$ 时，原不等式显然成立；当 $0<x<1$ 时，原不等式等价于 $\ln x\le \frac{x-1}{x+1}$ ；

当 $1<x<+\infty$ 时，原不等式等价于 $\ln x>\frac{x-1}{x+1}$ 。令 $f(x)=\ln x-\frac{x-1}{x+1}$ ，则

又因为 $f(1)=0$ ，利用函数单调性可知当 $0<x<1$ 时， $f(x)<0$ 即 $\ln x<\frac{x-1}{x+1}$ ；

当 $1<x<+\infty$ 时， $f(x)>0$ 即 $\ln x>\frac{x-1}{x+1}$ 。综上所述，当 $x>0$ 时，总有

【答案】 91500

【解析】 为了计算克服重力所做的功，考虑抓斗从井底（ $x=0$ ）提升到井口（ $x=30$ ）的过程中，井口拉力 $F(x)$ 随高度 $x$ 变化。功 $W$ 为 $F(x)$ 对 $x$ 的积分，即 $W={\int }_0^{30}F(x)dx$ 。

抓斗自重为 $400\text{N}$ ，污泥初始重量为 $2000\text{N}$ ，以 $20\text{N/s}$ 的速度漏掉。提升速度为 $3\text{m/s}$ ，因此时间 $t=x/3$ 。污泥重量随高度变化为 $2000-20\cdot (x/3)=2000-\frac{20}{3}x\text{N}$ 。抓斗和污泥的总重量为：

缆绳每米重 $50\text{N}$ ，当抓斗在高度 $x$ 时，井中缆绳长度为 $30-x$ 米，重量为 $50(30-x)\text{N}$ 。井口拉力 $F(x)$ 需克服抓斗、污泥和井中缆绳的重力，因此：

积分求功：

代入上下限：

因此，克服重力需作 $91500\text{J}$ 的功。

【答案】 $\frac{3\pi }{2}$

【解析】 给定椭球面 $S:\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x,y,z)\in S$ ，切平面 $\pi$ 的方程为 $xX+yY+2zZ=2$ ，其中 $(X,Y,Z)$ 为切平面上点。原点 $O(0,0,0)$ 到切平面的距离为：

因此，被积函数为：

曲面积分变为：

参数化曲面 $S$ ：令 $x=\sqrt{2}\sin \theta \cos \varphi$ , $y=\sqrt{2}\sin \theta \sin \varphi$ , $z=\cos \theta$ ，其中 $\theta \in [0,\pi /2]$ , $\varphi \in [0,2\pi ]$ 。计算面积元素：

代入被积函数：

积分变为：

先对 $\varphi$ 积分：