卷 4

【答案】 $2\sqrt{x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{1-x}+C$

【解析】 令 $u=\sqrt{x}$ ，则 $x=u^2$ ， $dx=2udu$ 。代入积分得：

计算 $\int \arcsin udu$ ，使用分部积分法或已知公式：

因此，

代回 $u=\sqrt{x}$ ，得：

故积分为 $2\sqrt{x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{1-x}+C$ .

【答案】 $(ab{)}^{\frac{3}{2}}$

【解析】
该极限为 $1^{\infty }$ 型不定式。令 $L={\lim }_{x\to 0}{\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}^{\frac{3}{x}}$ ，取自然对数得：

当 $x\to 0$ 时， $a^x\approx 1+x\ln a$ ， $b^x\approx 1+x\ln b$ ，因此：

于是：

代入得：

因此， $L=(ab{)}^{\frac{3}{2}}$ 。

【答案】 $k^2(k-2^n)$

【解析】
给定向量 $\alpha =(1,0,-1{)}^T$ ，矩阵 $A=\alpha {\alpha }^T$ 。
计算可得

由于 $A$ 是秩一矩阵，有

其中 $n$ 为正整数。

矩阵 $A$ 的特征值为 $0$ （二重）和 $2$ ，因此 $A^n$ 的特征值为 $0$ （二重）和 $2^n$ 。
矩阵 $kE-A^n$ 的特征值为 $k$ （二重）和 $k-2^n$ ，故行列式

【答案】 24

【解析】
由于矩阵 $A$ 相似于 $B$ ，且 $A$ 的特征值为 $2,3,4,5$ ，因此 $B$ 的特征值也为 $2,3,4,5$ 。
行列式 $|B-E|$ 即为 $B$ 的特征多项式在 $\lambda =1$ 处的值，即

其中

计算

故

【答案】

其中 $u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ , $v=\arctan \frac{y}{x}$ .

【解析】 已知 $z=u^v$ , $u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ , $v=\arctan \frac{y}{x}$ .
首先，求全微分 $dz$ . 由于 $z$ 是 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u$ 和 $v$ 又是 $x$ 和 $y$ 的函数，使用链式法则：

其中 $\frac{\partial z}{\partial u}=v{u}^{v-1}$ , $\frac{\partial z}{\partial v}=u^v\ln u$ .
所以，

即

现在求 $du$ 和 $dv$ .
由 $u=\ln \sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)$ ，得

由 $v=\arctan \frac{y}{x}$ ，得

将 $du$ 和 $dv$ 代入 $dz$ :

提取公因子 $\frac{1}{x^2+y^2}$ :

这就是所求的全微分。

【答案】

【解析】 考虑积分 $I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{e^{1+x}+e^{3-x}}$ 。首先，简化分母：

所以

令 $u=x-1$ ，则当 $x=1$ 时 $u=0$ ，当 $x\to +\infty$ 时 $u\to +\infty$ ，且 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ ，于是

计算积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{\cosh u}$ 。由于 $\cosh u=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$ ，有

令 $v=e^u$ ，则 $dv=e^{u}du$ ，当 $u=0$ 时 $v=1$ ，当 $u\to +\infty$ 时 $v\to +\infty$ ，所以

因此，

【答案】 $\frac{49}{20}$

【解析】
给定函数 $f(x,y)$ 在区域 $1\le x\le 2,0\le y\le x$ 上为 $x^{2}y$ ，否则为 0。积分区域 $D$ 由 $x^2+y^2\ge 2x$ 定义，即 $(x-1{)}^2+y^2\ge 1$ ，表示圆心在 $(1,0)$ 、半径为 1 的圆的外部。由于 $f(x,y)$ 仅在 $1\le x\le 2,0\le y\le x$ 上非零，实际积分区域为 $E=D\cap \{(x,y)\mid 1\le x\le 2,0\le y\le x\}$ 。

对于 $x\in [1,2]$ ， $y$ 需满足 $y\ge \sqrt{1-(x-1{)}^2}$ 且 $y\le x$ 。因此，二重积分化为：

先计算内层积分：

简化括号内表达式：

所以内层积分为：

代入外层积分：

计算上下限： 在 $x=2$ ： $\frac{1}{5}\cdot 32-\frac{1}{4}\cdot 16=\frac{32}{5}-4=\frac{32}{5}-\frac{20}{5}=\frac{12}{5}$ 在 $x=1$ ： $\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{4}{20}-\frac{5}{20}=-\frac{1}{20}$ 积分值为：

因此，二重积分的值为 $\frac{49}{20}$ 。

【答案】

【解析】 已知矩阵 $A$ 有三个线性无关的特征向量，且 $\lambda =2$ 是二重特征值。首先，利用 $\lambda =2$ 是二重特征值且几何重数等于代数重数的条件，求参数 $x$ 和 $y$ 。

计算 $A-2I$ ：

由于 $\lambda =2$ 是二重特征值且几何重数为 2，矩阵 $A-2I$ 的秩为 1。观察第一行和第三行成比例，因此第二行也需与第一行成比例。设第二行 = $k$ × 第一行，则有：

由 $2=-k$ 得 $k=-2$ ，代入得 $x=2$ ， $y=-2$ 。因此：

接下来求特征值。矩阵 $A$ 的迹为 $1+4+5=10$ ，特征值之和等于迹，已知 $\lambda =2$ 是二重特征值，故第三个特征值 ${\lambda }_3=10-2-2=6$ 。

求特征向量：

• 对于 $\lambda =2$ ，解 $(A-2I)\mathbf{v}=0$ ： A−2I=​−12−3​−12−3​1−23​​ 等价于方程 $-v_1-v_2+v_3=0$ ，即 $v_3=v_1+v_2$ 。令 $v_1=s$ ， $v_2=t$ ，则特征向量为： v=s​101​​+t​011​​ 取线性无关的特征向量 v1​=​101​​ ， v2​=​011​​ 。
• 对于 $\lambda =6$ ，解 $(A-6I)\mathbf{v}=0$ ： A−6I=​−52−3​−1−2−3​1−2−1​​ 由第二方程 $2v_1-2v_2-2v_3=0$ 得 $v_1=v_2+v_3$ ，代入第一方程 $-5(v_2+v_3)-v_2+v_3=0$ 得 $-6v_2-4v_3=0$ ，即 $3v_2+2v_3=0$ ，故 $v_3=-\frac{3}{2}{v}_2$ 。代入 $v_1=v_2+v_3$ 得 $v_1=-\frac{1}{2}{v}_2$ 。令 $v_2=2t$ ，则 $v_1=-t$ ， $v_3=-3t$ ，特征向量为： v3​=​−12−3​​

三个线性无关的特征向量为：

构造可逆矩阵 $P$ ：

计算 $\det (P)=-4\ne 0$ ，故 $P$ 可逆。此时 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(2,2,6)$ 。

【答案】
(1) $f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$ , $f_2(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2}$
(2) $\rho =0$
(3) $X$ 和 $Y$ 不独立。

【解析】
(1) 由于 ${\varphi }_1(x,y)$ 和 ${\varphi }_2(x,y)$ 都是二维正态密度函数，且它们的边缘密度对应的数学期望为 $0$ 、方差为 $1$ ，因此边缘密度函数均为标准正态密度函数，即

同理

于是， $X$ 的边缘密度函数为

同理， $Y$ 的边缘密度函数为

(2) $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$ 。由于 ${\sigma }_X={\sigma }_Y=1$ ，有 $\rho =\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$ 。又因为 $E[X]=E[Y]=0$ ，所以 $\rho =E[XY]$ 。计算 $E[XY]$ ：

对于二维正态密度函数 ${\varphi }_1(x,y)$ ，其相关系数为 $\frac{1}{3}$ ，故

同理，对于 ${\varphi }_2(x,y)$ ，其相关系数为 $-\frac{1}{3}$ ，故

因此

所以 $\rho =0$ 。

(3) $X$ 和 $Y$ 不独立。因为若 $X$ 和 $Y$ 独立，则联合密度函数应满足 $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ 。由 (1) 知

但实际联合密度函数为

其中 ${\varphi }_1(x,y)$ 和 ${\varphi }_2(x,y)$ 均为二维正态密度函数且相关系数非零，故 $f(x,y)\ne f_1(x)f_2(y)$ 。因此， $X$ 和 $Y$ 不独立。