卷 4

【答案】 $2 \ln x - \ln^2 x + C$

【解析】
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln^2 x$ ，则 $f(x) = \frac{d}{dx}(\ln^2 x) = \frac{2 \ln x}{x}$ 。
需要计算 $\int x f'(x) \, dx$ 。
使用分部积分法：令 $u = x$ ， $dv = f'(x) \, dx$ ，则 $du = dx$ ， $v = f(x)$ 。
所以，

代入 $f(x) = \frac{2 \ln x}{x}$ ，得

且 $\int f(x) \, dx = \ln^2 x + C$ 。
因此，

【答案】

【解析】 给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ ，计算 $B = A^2 - 3A + 2E$ ，其中 $E$ 为单位矩阵。

首先，求 $A$ 的特征多项式：

由凯莱-哈密顿定理， $A$ 满足其特征方程：

因此， $A^2 = 4A - 5E$ 。
代入 $B$ ：

即 $B = A - 3I$ ，其中 $I$ 为单位矩阵。
计算 $A - 3I$ ：

求逆矩阵 $B^{-1} = (A - 3I)^{-1}$ 。
对于矩阵 $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ ，行列式为 $(-2)(0) - (-1)(2) = 2$ 。
逆矩阵公式为 $\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ ，代入 $a = -2, b = -1, c = 2, d = 0$ ：

因此， $B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ 。

【答案】 $abc \neq 0$

【解析】
考虑向量组 $\alpha_1 = (a,0,c)$ 、 $\alpha_2 = (b,c,0)$ 、 $\alpha_3 = (0,a,b)$ 的线性无关性。构造矩阵

该向量组线性无关当且仅当矩阵 $A$ 的行列式不为零。计算行列式：

因此， $\det(A) = 2abc$ 。向量组线性无关的条件为 $\det(A) \neq 0$ ，即

故 $a, b, c$ 需满足关系式 $abc \neq 0$ 。

【答案】 $0$

【解析】
首先，计算随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望值。

$X$ 的边际分布：

故

$Y$ 的边际分布：

故

其次，计算 $E[XY]$ ：

然后，计算协方差：

由于协方差为 0，相关系数 $\rho = 0$ 。

因此， $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 0。

【答案】

【解析】
第一步：分析区域 $D$

闭区域 $D:x^{2}+y^{2}⩽y,x⩾0$ 。 将圆的方程配方：

这表示一个圆心在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，半径 $R=\frac{1}{2}$ 的圆。加上条件 $x⩾0$ ，区域 $D$ 是该圆位于 $y$ 轴右侧的半圆面。

• 面积 $S_{D}$ ： $S_{D}=\frac{1}{2}\cdot \pi \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{\pi }{8}$ 。

第二步：设定常数并建立方程

设常数 $A=∬_{D} f\left(u,v\right)dudv$ 。 则原方程可以写作：

为了求出 $A$ ，我们对上述等式两边在区域 $D$ 上同时进行二重积分：

代入 $A$ 的定义和面积 $S_{D}$ ：

第三步：计算积分 $I=∬_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}dxdy$

使用极坐标变换： $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 。 圆的边界 $x^{2}+y^{2}=y$ 变为 $r^{2}=r\sin \theta$ ，即 $r=\sin \theta$ 。 由于 $x⩾0$ ， $\cos \theta ⩾0$ ，且 $r⩽\sin \theta$ 蕴含 $\sin \theta ⩾0$ ，故 $\theta$ 的范围是 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 。

先计算内层关于 $r$ 的积分：

再计算外层关于 $\theta$ 的积分：

第四步：解出 $f\left(x,y\right)$

将 $I$ 的结果代入关于 $A$ 的方程：

我们需要求的是 $f\left(x,y\right)$ 中的常数项 $C=\frac{\pi }{8}A$ ：

最终结果：

【答案】
(1) 证明见解析。
(2) 当 $p = 6$ 时，总收益对价格的弹性为 $\frac{7}{13}$ 。经济意义：当价格增加 1% 时，总收益增加约 0.538%，表明需求缺乏弹性，总收益与价格同方向变动但变动幅度较小。

【解析】
(1) 总收益函数 $R = p \cdot Q(p)$ ，对 $p$ 求导得：

需求弹性 $\eta > 0$ ，且定义为 $\eta = - \frac{\d Q}{\d p} \cdot \frac{p}{Q}$ ，因此

代入上式：

故证。

(2) 总收益对价格的弹性定义为 $\varepsilon_{Rp} = \frac{\d R}{\d p} \cdot \frac{p}{R}$ 。由 (1) 知 $\frac{\d R}{\d p} = Q(1 - \eta)$ ，且 $R = p Q$ ，所以

给定 $\eta = \frac{2p^2}{192 - p^2}$ ，当 $p = 6$ 时，

因此，

经济意义： $\varepsilon_{Rp} = \frac{7}{13}$ 表示当价格增加 1% 时，总收益增加约 0.538%。由于 $\eta < 1$ ，需求缺乏弹性，价格与总收益同方向变动，但总收益变动幅度小于价格变动幅度。

【答案】
(1) 方程组①的一个基础解系为 $\xi_1 = (5, -3, 1, 0)^T$ ， $\xi_2 = (-3, 2, 0, 1)^T$ 。
(2) 当 $a = -1$ 时，方程组①与②有非零公共解。全部非零公共解为 $k_1 (2, -1, 1, 1)^T + k_2 (-1, 2, 4, 7)^T$ ，其中 $k_1, k_2$ 不全为零。

【解析】
(1) 对于方程组①，系数矩阵为 $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。通过行变换化为行简化阶梯形 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ ，对应方程
$x_1 - 5x_3 + 3x_4 = 0$ 和 $x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 0$ 。
令自由变量 $x_3 = s$ ， $x_4 = t$ ，得通解
$x_1 = 5s - 3t$ ， $x_2 = -3s + 2t$ ， $x_3 = s$ ， $x_4 = t$ ，
即基础解系为 $\xi_1 = (5, -3, 1, 0)^T$ ， $\xi_2 = (-3, 2, 0, 1)^T$ 。

(2) 方程组②的基础解系为 $\alpha_1 = (2, -1, a+2, 1)^T$ ， $\alpha_2 = (-1, 2, 4, a+8)^T$ 。
公共解需满足方程组①，代入通解 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$ 到方程组①的方程中。

方程一：
$2(2k_1 - k_2) + 3(-k_1 + 2k_2) - [(a+2)k_1 + 4k_2] = 0$ ，
化简得 $(-a-1)k_1 = 0$ 。

方程二：
$(2k_1 - k_2) + 2(-k_1 + 2k_2) + [(a+2)k_1 + 4k_2] - [k_1 + (a+8)k_2] = 0$ ，
化简得 $(a+1)(k_1 - k_2) = 0$ 。

非零公共解要求 $k_1, k_2$ 不全为零。
若 $a+1 \neq 0$ ，则从方程一得 $k_1 = 0$ ，从方程二得 $k_2 = 0$ ，无非零解。
故 $a+1 = 0$ ，即 $a = -1$ 。此时方程一和方程二恒成立，所有 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$ 均为公共解。

当 $a = -1$ 时， $\alpha_1 = (2, -1, 1, 1)^T$ ， $\alpha_2 = (-1, 2, 4, 7)^T$ ，
全部非零公共解为 $k_1 (2, -1, 1, 1)^T + k_2 (-1, 2, 4, 7)^T$ ，其中 $k_1, k_2$ 不全为零。

【答案】 可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵 $\begin{pmatrix} a-2 & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & a+1 \end{pmatrix}$ ，行列式 $|A - E| = a^2 (a-3)$ 。

【解析】
矩阵 $A$ 是实对称矩阵，因此可以对角化。先求 $A$ 的特征值。令 $B = A - aI = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $A = aI + B$ 。求 $B$ 的特征值，解特征方程 $|B - \mu I| = 0$ ：

解得 $\mu = 1$ （二重根）和 $\mu = -2$ 。因此 $A$ 的特征值为 $\lambda = a + \mu$ ，即 $\lambda_1 = a-2$ ， $\lambda_2 = a+1$ ， $\lambda_3 = a+1$ 。

求特征向量：

• 对于 $\lambda_1 = a-2$ ，解 $(A - (a-2)I)x = 0$ ，即解 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} x = 0$ ，得特征向量 $v_1 = (1, -1, -1)^T$ 。
• 对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = a+1$ ，解 $(A - (a+1)I)x = 0$ ，即解 $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} x = 0$ ，得方程 $x_1 - x_2 - x_3 = 0$ ，选取两个线性无关的特征向量 $v_2 = (1, 1, 0)^T$ 和 $v_3 = (1, 0, 1)^T$ 。

因此，可逆矩阵 $P = (v_1, v_2, v_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，满足 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(a-2, a+1, a+1)$ 。

计算行列式 $|A - E|$ ，其中 $E$ 为单位矩阵。 $A - E = \begin{pmatrix} a-1 & 1 & 1 \\ 1 & a-1 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$ 。利用特征值， $A$ 的特征值为 $a+1, a+1, a-2$ ，故 $A - E$ 的特征值为 $a, a, a-3$ ，所以 $|A - E| = a \cdot a \cdot (a-3) = a^2 (a-3)$ 。直接计算也可得相同结果。

【答案】 见解析

【解析】
1. 充分性：

若 $A$ 与 $B$ 独立，则根据独立事件的定义：

根据条件概率公式：

现在计算 $P(B|\neg A)$ ：

由于 $B = (A \cap B) \cup (B \cap \neg A)$ ，且 $A \cap B$ 与 $B \cap \neg A$ 互斥，所以：

因此：

所以， $P(B|A) = P(B) = P(B|\neg A)$ ，即：

2. 必要性：

假设 $P(B|A) = P(B|\neg A)$ ，则：

由于 $P(\neg A) = 1 - P(A)$ ，且 $P(B \cap \neg A) = P(B) - P(A \cap B)$ ，代入得：

交叉相乘：

展开：

消去 $-P(A)P(A \cap B)$ ：

这正是 $A$ 与 $B$ 独立的定义。

结论

综上所述， $P(B|A) = P(B|\neg A)$ 是事件 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件。