卷 3

【答案】 $\lambda >2$

【解析】
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导函数连续需满足两个条件：一是 $f^{\prime }(0)$ 存在，二是 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$ 。

首先，求 $f^{\prime }(0)$ ：

该极限存在当且仅当 $\lambda -1>0$ ，即 $\lambda >1$ ，此时 $f^{\prime }(0)=0$ 。

其次，求 $f^{\prime }(x)$ 对于 $x\ne 0$ ：

计算极限：

由于 $\cos \frac{1}{x}$ 和 $\sin \frac{1}{x}$ 有界，第一项趋于 0 当 $\lambda >1$ ，但第二项趋于 0 仅当 $\lambda -2>0$ ，即 $\lambda >2$ 。若 $\lambda \le 2$ ，则第二项极限不存在或不为 0。因此， ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=0$ 当且仅当 $\lambda >2$ 。

综上， $f^{\prime }(0)=0$ 且 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=0$ 当 $\lambda >2$ ，故导函数在 $x=0$ 处连续时 $\lambda$ 的取值范围为 $\lambda >2$ 。

【答案】 $4a^6$

【解析】
设曲线与 $x$ 轴相切的切点为 $(x_0,0)$ ，则有

于是有 $x_0^2=a^2$ ， $b=x_0(x_0^2-3a^2)$ 。所以

【答案】 $a^2$

【解析】
给定 $f(x)=g(x)=\{\begin{array}{ll}a,& 0\le x\le 1\\ 0,& \end{array}$ ，且 $D$ 为全平面，计算二重积分 $I={\iint }_{D}f(x)g(y-x)dxdy$ 。

由于 $f(x)$ 仅在 $x\in [0,1]$ 上非零，积分可写为：

令 $u=y-x$ ，则内积分变为：

代入得：

或者，通过卷积理解：

其中

由于 $f$ 和 $g$ 均为矩形函数，卷积结果为：

则：

两种方法均得 $I=a^2$ 。

【答案】 -1

【解析】 已知矩阵 $A=E-\alpha {\alpha }^T$ ， $B=E+\frac{1}{a}\alpha {\alpha }^T$ ，且 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，即 $AB=E$ 。计算 $AB$ ：

由于 $\alpha {\alpha }^T\alpha {\alpha }^T=\alpha ({\alpha }^T\alpha ){\alpha }^T$ ，且 ${\alpha }^T\alpha =a^2+0+\cdots +0+a^2=2a^2$ ，代入得：

为使 $AB=E$ ，需满足：

两边乘以 $a$ （注意 $a<0$ ，故 $a\ne 0$ ）：

解此二次方程：

由条件 $a<0$ ，取 $a=-1$ 。验证：当 $a=-1$ 时， $A=E-\alpha {\alpha }^T$ ， $B=E-\alpha {\alpha }^T$ ，则 $A=B$ ，且 $A^2=E$ ，故 $AB=E$ 成立。因此， $a=-1$ 。

【答案】 0.9

【解析】
给定随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 ${\rho }_{X,Y}=0.9$ ，且 $Z=X-0.4$ 。需要求 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数 ${\rho }_{Y,Z}$ 。

相关系数的定义为

首先，计算协方差

由于常数与随机变量的协方差为零，因此

其次，计算 $Z$ 的标准差 ${\sigma }_Z$ 。由于 $Z=X-0.4$ ，方差

因此

代入相关系数公式：

因此， $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为 0.9。

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】
总体 $X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，即速率参数 $\lambda =2$ 。其概率密度函数为

需要求

当 $n\to \infty$ 时的概率极限。

由强大数定律，样本均值依概率收敛于期望值，即

计算 $E[X^2]$ ：对于指数分布，

因此， $Y_n$ 依概率收敛于 $\frac{1}{2}$ 。

【答案】 $f(1)=\frac{1}{\pi }$

【解析】
为了使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上连续，需要补充定义 $f(1)$ 使得 $f(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)$ . 计算该极限时，令 $t=1-x$ ，则当 $x\to 1^{-}$ 时， $t\to 0^{+}$ . 代入函数得：

当 $t\to 0^{+}$ ，第一项 $\frac{1}{\pi (1-t)}\to \frac{1}{\pi }$ . 第二项和第三项的差为：

使用泰勒展开： $\sin \pi t=\pi t-\frac{(\pi t{)}^3}{6}+O(t^5)$ ，则分子 $\pi t-\sin \pi t=\frac{{\pi }^3{t}^3}{6}+O(t^5)$ ，分母 $\pi t\sin \pi t={\pi }^2{t}^2-\frac{{\pi }^4{t}^4}{6}+O(t^6)$ ，所以：

因此， ${\lim }_{t\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\sin \pi t}-\frac{1}{\pi t}\right)=0$ ，从而：

故补充定义 $f(1)=\frac{1}{\pi }$ .

【答案】 $x^2+y^2$

【解析】
由复合函数的求导法则得

从而

所以

【答案】 $\frac{\pi }{2}(1+e^{\pi })$

【解析】
作极坐标变换：设 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ ，有

记 $A={\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-t}\sin t\mathrm{d}t$ ，则

因此 $A=\frac{1}{2}(1+{\mathrm{e}}^{-\pi })$ ， $I=\frac{\pi {\mathrm{e}}^{\pi }}{2}(1+{\mathrm{e}}^{-\pi })=\frac{\pi }{2}(1+{\mathrm{e}}^{\pi })$ 。

【答案】 和函数为 $f(x)=1-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$ ，其中 $|x|<1$ 。极值为极大值 $1$ ，在 $x=0$ 处取得。

【解析】
对和函数 $f(x)=1+{\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}$ 求导，得

对上式两边从 $0$ 到 $x$ 积分，得

对 $f(x)$ 求一阶导数，并令

求得唯一驻点 $x=0$ 。由于

由极值的第二充分条件，得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，且极大值为 $f(0)=1$ 。

【答案】
(1) $F^{\prime }(x)+2F(x)=4e^{2x}$
(2) $F(x)=e^{2x}-e^{-2x}$

【解析】
(1) 由 $F(x)=f(x)g(x)$ ，求导得

代入 $f^{\prime }(x)=g(x)$ 和 $g^{\prime }(x)=f(x)$ ，有

已知 $f(x)+g(x)=2e^x$ ，两边平方得

即

代入 $F^{\prime }(x)=f(x{)}^2+g(x{)}^2$ ，得

此为 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程。

(2) 解微分方程 $F^{\prime }(x)+2F(x)=4e^{2x}$ 。
积分因子为 $e^{2x}$ ，两边乘以积分因子得

即

积分得

故

由初始条件 $f(0)=0$ 和 $f(x)+g(x)=2e^x$ ，得

即 $g(0)=2$ 。
于是

代入 $F(x)$ 表达式，有

解得 $C=-1$ 。
因此