卷 3

【答案】 $a=1$ ， $b=-4$

【解析】
给定极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5$ 。

当 $x\to 0$ 时， $\sin x\to 0$ ， $e^x\to 1$ ， $\cos x\to 1$ 。

若 $a\ne 1$ ，则 $e^x-a\to 1-a\ne 0$ ，且 $\sin x(\cos x-b)\to 0$ ，因此极限为 $0$ ，与极限值为 $5$ 矛盾。

故 $a=1$ ，此时极限化为

利用等价无穷小，当 $x\to 0$ 时， $\sin x\sim x$ ， $e^x-1\sim x$ ，因此

于是极限近似为

设 $1-b=5$ ，得 $b=-4$ 。

验证：当 $a=1$ ， $b=-4$ 时，

符合条件。

因此， $a=1$ ， $b=-4$ 。

【答案】 $-\frac{g^{\prime }(y)}{g^2(y)}$

【解析】
给定函数关系式 $f[xg(y),y]=x+g(y)$ ，其中 $g(y)$ 可微且 $g(y)\ne 0$ 。
令 $u=xg(y)$ ， $v=y$ ，则 $x=\frac{u}{g(v)}$ 。代入关系式得：

对 $f(u,v)$ 求偏导数：
首先，对 $u$ 求偏导：

然后，对 $v$ 求偏导：

由于 $v=y$ ，故

【答案】 $-\frac{1}{2}$

【解析】 需要计算积分 ${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)dx$ 。令 $u=x-1$ ，则当 $x=\frac{1}{2}$ 时， $u=-\frac{1}{2}$ ；当 $x=2$ 时， $u=1$ 。积分变为：

函数 $f(u)$ 定义为：

将积分拆分为两部分：

在第一部分区间 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 上， $f(u)=u{e}^{u^2}$ 。函数 $u{e}^{u^2}$ 是奇函数，且在对称区间上积分，故：

在第二部分区间 $[\frac{1}{2},1]$ 上， $f(u)=-1$ ，故：

因此，积分结果为：

【答案】 $2$

【解析】
因为

所以二次型对应的矩阵为

由初等变换得

从而 $r(A)=2$ ，于是二次型的秩也为 2。

【答案】 ${\sigma }^2$

【解析】

所以有

从而

【答案】 $\frac{4}{3}$

【解析】
由等价无穷小量代换和洛必达法则，可得

【答案】 $\frac{16(3\pi -2)}{9}$

【解析】
首先，积分区域 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=4$ 和 $(x+1{)}^2+y^2=1$ 所围成的区域，即大圆内部且小圆外部的区域。由于区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且被积函数中的 $y$ 是关于 $x$ 轴的奇函数，因此 ${\iint }_{D}yd\sigma =0$ 。于是，

在极坐标变换 $x=r\cos \theta$ , $y=r\sin \theta$ 下，有 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ ，面积元素 $d\sigma =rdrd\theta$ ，所以

因此，原积分化为

由于 $D$ 是大圆内部且小圆外部的区域，故

计算第一个积分：

计算第二个积分。小圆 $(x+1{)}^2+y^2\le 1$ 在极坐标下表示为 $r\le -2\cos \theta$ ，其中 $\theta \in [\pi /2,3\pi /2]$ ，因此

计算 ${\int }_{\pi /2}^{3\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta$ ：

所以

于是，

因此，

故所求积分为 $\frac{16(3\pi -2)}{9}$ 。

【答案】 见解析

【解析】
设 $h(x)=f(x)-g(x)$ ，则由条件可得

令 $H(x)={\int }_a^{x}h(t)dt$ ，则 $H(x)\ge 0$ 对于 $x\in [a,b)$ ，且 $H(b)=0$ 。 考虑积分

使用分部积分法：

由于 $H(a)=0$ 和 $H(b)=0$ ，故

因此

由于 $H(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上，且 $H(x)$ 连续，故

所以

即

从而

证毕。

【答案】
(1) $E_d=\frac{P}{20-P}$
(2) 当 $P\in (10,20)$ 时，降低价格反而使收益增加。

【解析】
(I) 由于需求量对价格的弹性 $E_d>0$ ，所以

(II) 由 $R=PQ$ ，得

令 $\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}P}<0$ ，可得 $E_d>1$ ，即 $\frac{P}{20-P}>1$ ，解得 $P>10$ 。又已知 $P\in (0,20)$ ，所以当 $10<P<20$ 时，收益随价格降低反而增加。

【答案】
(1) $S(x)$ 所满足的一阶微分方程为： $S^{\prime }(x)-xS(x)=\frac{x^3}{2}$
(2) $S(x)$ 的表达式为： $S(x)=e^{\frac{x^2}{2}}-1-\frac{x^2}{2}$

【解析】
(I) 易知 $S(0)=0$ ，且有

因此 $S(x)$ 满足一阶线性微分方程及相应的初始条件：

(II) 由通解公式，上述微分方程的通解为

由初始条件 $S(0)=0$ ，得 $C=1$ 。故

【答案】
(1) 当 $a=0$ 时， $\beta$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。
(2) 当 $a\ne 0$ 且 $a\ne b$ 时， $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 唯一地线性表示，表示式为：

(3) 当 $a\ne 0$ 且 $a=b$ 时， $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，但表示式不唯一，表示式为：

其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
设存在实数 $x_1,x_2,x_3$ 使得方程组 ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3=\beta$ 成立。记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ ，对矩阵 $(A,\beta )$ 作初等行变换得