卷 4

【答案】

【解析】 首先，简化函数表达式：

然后，对 $y$ 求导：

其中：

所以：

合并后两项：

因此：

代入 $x = 1$ ：

【答案】

【解析】 给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ ，且 $B = P^{-1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵。需要计算 $B^{2004} - 2A^2$ 。

首先，计算 $A^{2004}$ 。矩阵 $A$ 为分块对角矩阵，可写为：

其中 $A_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ， $A_2 = \begin{pmatrix} -1 \end{pmatrix}$ 。则 $A^k = \begin{pmatrix} A_1^k & 0 \\ 0 & A_2^k \end{pmatrix}$ 对于任意正整数 $k$ 。

计算 $A_1^{2004}$ ：

• $A_1^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$ 。
• $A_1^4 = (A_1^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2$ 。
• 由于 $2004 = 4 \times 501$ ，所以 $A_1^{2004} = I_2$ 。

计算 $A_2^{2004}$ ：

• $A_2 = -1$ ，所以 $A_2^{2004} = (-1)^{2004} = 1$ 。

因此，

接下来，计算 $B^{2004}$ ： 由于 $B = P^{-1} A P$ ，则 $B^{2004} = P^{-1} A^{2004} P = P^{-1} I_3 P = I_3$ 。

然后，计算 $A^2$ ：

其中 $A_1^2 = -I_2$ ， $A_2^2 = (-1)^2 = 1$ ，所以

最后，计算 $B^{2004} - 2A^2$ ：

故答案为 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ 。

【答案】 $(1,0,0)^T$

【解析】
设 $A$ 为 $3 \times 3$ 实正交矩阵，且 $a_{11} = 1$ 。由于正交矩阵的行向量组是标准正交组，第一行向量的模长为 $1$ ，即

代入 $a_{11} = 1$ ，得

因此 $a_{12} = 0$ ， $a_{13} = 0$ ，即 $A$ 的第一行为 $(1,0,0)$ 。

同理，正交矩阵的列向量组也是标准正交组。第一列向量为 $(a_{11}, a_{21}, a_{31})^{\mathrm T}$ ，其模长为 $1$ ，且与其他列向量正交。由第一行为 $(1,0,0)$ 可知，第一列向量与第一行向量点积为 $1$ ，结合正交性，可得 $a_{21} = 0$ ， $a_{31} = 0$ ，因此第一列向量为 $(1,0,0)^{\mathrm T}$ 。

线性方程组 $A x = b$ 的解为 $x = A^{-1} b$ 。由于 $A$ 是正交矩阵， $A^{-1} = A^{\mathrm T}$ ，故

计算 $A^{\mathrm T} b$ ，即 $A^{\mathrm T}$ 的第一列与 $b$ 的点积，因 $b = (1,0,0)^{\mathrm T}$ ，故

因此，方程组 $A x = b$ 的解为 $(1,0,0)^{\mathrm T}$ 。

【答案】
一阶微分方程为： $y' + 2y = x^2 e^{-2x}$
通解为： $y(x) = e^{-2x} \left( \frac{x^3}{3} + C \right)$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定 $y(x) = e^{-2x} f(x,x)$ ，对 $y(x)$ 求导：

其中 $\frac{d}{dx} e^{-2x} = -2e^{-2x}$ ，且

由条件 $f'_u(u,v) + f'_v(u,v) = uv$ ，代入 $u = x$ , $v = x$ 得：

因此，

整理得一阶微分方程：

该方程为一阶线性微分方程，标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$ ，其中 $P(x) = 2$ , $Q(x) = x^2 e^{-2x}$ 。
求解通解：

计算 $\int P(x) \, dx = \int 2 \, dx = 2x$ ，所以 $e^{\int P(x) \, dx} = e^{2x}$ ，
则：

因此，

即为通解。

【答案】
(1) $S(t) = 1 - 2t e^{-2t}$
(2) $S(t)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$

【解析】
首先，计算夹在 $x$ 轴与曲线 $y = F(x)$ 之间的总面积 $S$ 。由于 $F(x)$ 是偶函数，且

计算得

所以 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。

对于 $t > 0$ ，矩形面积 $S_1(t)$ 为

因此

接下来，求 $S(t)$ 的最小值。令 $g(t) = 1 - 2t e^{-2t}$ ，则求 $g(t)$ 的最小值等价于求 $h(t) = 2t e^{-2t}$ 的最大值。对 $h(t)$ 求导：

令 $h'(t) = 0$ ，得 $t = \frac{1}{2}$ 。当 $t < \frac{1}{2}$ 时， $h'(t) > 0$ ; 当 $t > \frac{1}{2}$ 时， $h'(t) < 0$ ，所以 $h(t)$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 处取得最大值。最大值为

因此 $S(t)$ 的最小值为

【答案】
(1) 当 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

(2) 当 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，满足 $x_2 = x_3$ 的全部解为：

当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，满足 $x_2 = x_3$ 的全部解为：

【解析】
已知 $(1, -1, 1, -1)^T$ 是方程组的一个解，代入方程组得 $\mu = \lambda$ 。因此方程组化为：

特解为 $X_p = (1, -1, 1, -1)^T$ 。

考虑齐次方程组：

对系数矩阵进行行变换：

对于 (1)，分情况讨论：

• 当 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，从第二行得 $x_2 + x_3 = 0$ ，代入第三行得 $x_4 = 2x_2$ ，代入第一行得 $x_1 = -2x_2$ 。令 $x_2 = k$ ，则齐次解为 $X_h = k(-2, 1, -1, 2)^T$ ，基础解系含一个向量。全部解为 $X = X_p + X_h$ 。
• 当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，系数矩阵行简化后为： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0.5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 得 $x_1 = x_3 - 0.5x_4$ ， $x_2 = -3x_3 - x_4$ 。令 $x_3 = c_1$ ， $x_4 = 2c_2$ ，则齐次解为 $X_h = c_1(1, -3, 1, 0)^T + c_2(-1, -2, 0, 2)^T$ ，基础解系含两个向量。全部解为 $X = X_p + X_h$ 。

对于 (2)，要求 $x_2 = x_3$ ：

• 当 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，解为 $X = (1, -1, 1, -1)^T + k(-2, 1, -1, 2)^T$ ，分量满足 $-1 + k = 1 - k$ ，得 $k = 1$ ，代入得解。
• 当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，解为 $X = (1, -1, 1, -1)^T + c_1(1, -3, 1, 0)^T + c_2(-1, -2, 0, 2)^T$ ，分量满足 $-1 - 3c_1 - 2c_2 = 1 + c_1$ ，得 $c_2 = -1 - 2c_1$ ，代入得解，其中 $c_1$ 为任意常数。

【答案】
(1) 另一特征值为 $0$ ，对应的特征向量为 $(1,-1,-1)^T$ （或任何非零倍数）。
(2) 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$ .

【解析】
(1) 由于 $A$ 是实对称矩阵且秩为 $2$ ，故行列式为 $0$ ，因此另一特征值必为 $0$ 。设特征值 $0$ 对应的特征向量为 $\beta = (x, y, z)^T$ ，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，故 $\beta$ 与特征值 $6$ 的特征向量 $\alpha_1 = (1,1,0)^T$ 和 $\alpha_2 = (2,1,1)^T$ 正交，即 $\beta \cdot \alpha_1 = 0$ 和 $\beta \cdot \alpha_2 = 0$ ：

由 $x + y = 0$ 得 $y = -x$ ，代入第二式得 $2x - x + z = 0$ ，即 $x + z = 0$ ，故 $z = -x$ 。因此 $\beta = (x, -x, -x)^T = x(1,-1,-1)^T$ ，取 $x=1$ 得特征向量 $(1,-1,-1)^T$ .

(2) 为求矩阵 $A$ ，采用对角化方法。取特征向量矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ ，对角矩阵 $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $A = P D P^{-1}$ . 计算 $P^{-1}$ 得：

先计算 $D P^{-1}$ ：

然后计算 $A = P (D P^{-1})$ ：

验证可知 $A$ 满足条件：秩为 $2$ ，特征值为 $6,6,0$ ，且给定向量均为特征值 $6$ 的特征向量。

【答案】
(1) 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为： $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
(2) $Y$ 的概率密度为： $f_Y(y) = \begin{cases} -\ln y, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
(3) 概率 $P\{X + Y > 1\} = 1 - \ln 2$

【解析】
(1) 由于 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f_X(x) = 1$ （ $0 < x < 1$ ）。在 $X = x$ 的条件下， $Y$ 在区间 $(0,x)$ 上服从均匀分布，其条件概率密度函数为 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{x}$ （ $0 < y < x$ ）。因此，联合概率密度函数为：

在其他区域，联合概率密度为 0。

(2) $Y$ 的概率密度函数通过对联合概率密度函数关于 $x$ 积分得到：

由于 $f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{x}$ 仅在 $0 < y < x < 1$ 时非零，因此对于固定的 $y$ ， $x$ 的取值范围为 $y < x < 1$ 。于是：

在其他区域， $f_Y(y) = 0$ 。

(3) 概率 $P\{X + Y > 1\}$ 通过计算联合概率密度函数在区域 $x + y > 1$ 上的二重积分得到。积分区域受限于 $0 < y < x < 1$ 和 $x + y > 1$ 。分析可知，当 $x \leq \frac{1}{2}$ 时， $y < x \leq \frac{1}{2}$ ，且 $x + y \leq x + x = 2x \leq 1$ ，不满足 $x + y > 1$ 。因此， $x$ 必须满足 $\frac{1}{2} < x < 1$ ，且对于每个 $x$ ， $y$ 的取值范围为 $1 - x < y < x$ 。于是：

先计算内层积分：

然后计算外层积分：

因此， $P\{X + Y > 1\} = 1 - \ln 2$ 。