卷 4

【答案】 $-2$

【解析】
已知矩阵 $A = (2a_1 + a_2, a_1 - a_2)$ ， $B = (a_1, a_2)$ ，且 $|A| = 6$ 。
设矩阵 $K = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ ，则 $A = B K$ 。
由行列式性质， $|A| = |B| \cdot |K|$ 。
计算 $|K| = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = (2)(-1) - (1)(1) = -3$ 。
代入已知条件， $6 = |B| \cdot (-3)$ ，解得 $|B| = -2$ 。

或者直接利用行列式的线性性质：

其中

所以

即 $6 = -3|B|$ ，解得 $|B| = -2$ 。

故答案为 $-2$ 。

【答案】

【解析】
由方程 $BA = B + 2E$ ，移项得 $BA - B = 2E$ ，即 $B(A - E) = 2E$ 。

计算 $A - E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ 。

设 $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ ，则 $B C = 2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 。

求 $C$ 的逆矩阵：行列式为 $1 \times 1 - 1 \times (-1) = 2$ ，故 $C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 。

因此

验证：

两者相等，故结果正确。

【答案】
(1) $a = 0.2$ , $b = 0.1$ , $c = 0.1$
(2) $Z$ 的概率分布为：

(3) $P\{X = Z\} = 0.2$

【解析】
(1) 由概率分布的性质，所有概率之和为1，即：

简化得：

$X$ 的数学期望 $EX = -0.2$ ，先求 $X$ 的边缘分布：

则：

设等于 $-0.2$ ：

即：

条件概率 $P\{Y \le 0 \mid X \le 0\} = 0.5$ ，其中：

所以：

令 $s = a + b$ ，则：

解方程：

即：

由 (1) 和 (3) 得：

代入(2)：

代入(3)：

故 $a = 0.2$ ， $b = 0.1$ ， $c = 0.1$ 。

(2) $Z = X + Y$ ，可能取值为-2、-1、0、1、2。计算各值的概率：

• $P(Z = -2) = P(X = -1, Y = -1) = 0.2$
• $P(Z = -1) = P(X = -1, Y = 0) + P(X = 0, Y = -1) = 0 + 0.1 = 0.1$
• $P(Z = 0) = P(X = -1, Y = 1) + P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1) = 0.2 + 0.1 + 0 = 0.3$
• $P(Z = 1) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 0) = 0.2 + 0.1 = 0.3$
• $P(Z = 2) = P(X = 1, Y = 1) = 0.1$ 故 $Z$ 的概率分布如上表。

(3) $P\{X = Z\}$ ，由 $Z = X + Y$ ，得 $X = X + Y$ ，即 $Y = 0$ 。所以：