卷 4

【答案】

【解析】 给定函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足方程：

首先，求 $f(0)$ 。令 $x = 0$ ，代入方程：

所以 $f(0) = 0$ 。

定义 $F(x) = \int_0^x (x^2 - t^2) f'(t) \, dt$ ，则 $f(x) = F(x) + x^2$ 。对 $F(x)$ 应用莱布尼茨积分法则：

计算各项：

• 第一项：当 $t = x$ 时， $(x^2 - x^2) f'(x) = 0$ ，乘以 $\frac{d}{dx}(x) = 1$ ，结果为 0。
• 第二项：当 $t = 0$ 时， $(x^2 - 0^2) f'(0) = x^2 f'(0)$ ，乘以 $\frac{d}{dx}(0) = 0$ ，结果为 0。
• 第三项： $\frac{\partial}{\partial x} \left[ (x^2 - t^2) f'(t) \right] = 2x f'(t)$ ，所以 $\int_0^x 2x f'(t) \, dt = 2x \int_0^x f'(t) \, dt = 2x [f(x) - f(0)] = 2x f(x)$ （因为 $f(0) = 0$ ）。

因此， $F'(x) = 2x f(x)$ 。对 $f(x) = F(x) + x^2$ 求导：

整理得：

这是一阶线性微分方程。积分因子为 $\mu(x) = e^{\int -2x \, dx} = e^{-x^2}$ 。乘以积分因子：

左边为 $\frac{d}{dx} \left[ e^{-x^2} f(x) \right]$ ，所以：

积分两边：

令 $u = -x^2$ ，则 $du = -2x \, dx$ ，所以：

因此：

解得：

由 $f(0) = 0$ ，代入得：

所以：

验证：代入原方程，左右相等，故正确。

【答案】
(1) $(U,V)$ 的概率分布为：

(2) $\Cov(U,V) = \frac{4}{81}$ 。

【解析】
(1) 由于 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $P(X=1)=\frac{2}{3}$ ， $P(X=2)=\frac{1}{3}$ ，则 $(X,Y)$ 的联合概率分布为：

• $P(X=1,Y=1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ ，此时 $U=1$ ， $V=1$ ；
• $P(X=1,Y=2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=1$ ；
• $P(X=2,Y=1) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=1$ ；
• $P(X=2,Y=2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=2$ 。
  因此， $(U,V)$ 的概率分布为：
• $P(U=1,V=1) = \frac{4}{9}$ ；
• $P(U=2,V=1) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$ ；
• $P(U=2,V=2) = \frac{1}{9}$ 。
  这可以表示为表格形式。

(2) 对于协方差 $\Cov(U,V)$ ，计算如下：
首先，求 $U$ 和 $V$ 的边缘分布：

• $P(U=1) = \frac{4}{9}$ ， $P(U=2) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$ ，故 $E[U] = 1 \times \frac{4}{9} + 2 \times \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$ ；
• $P(V=1) = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$ ， $P(V=2) = \frac{1}{9}$ ，故 $E[V] = 1 \times \frac{8}{9} + 2 \times \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$ 。
  其次，求 $E[UV]$ ：
• $E[UV] = 1 \times \frac{4}{9} + 2 \times \frac{4}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} + \frac{4}{9} = \frac{16}{9}$ 。
  因此，
  $\Cov(U,V) = E[UV] - E[U]E[V] = \frac{16}{9} - \frac{14}{9} \times \frac{10}{9} = \frac{144}{81} - \frac{140}{81} = \frac{4}{81}.$