数的表示与运算

数的表示与运算研究两件事：有限位数怎样表示数值，以及运算电路怎样处理这些位。综合题常把它们放进一小段 C 代码中，让你同时回答“位模式是什么”“数值是多少”“结果是否正确”。这三个问题需要分别判断。

这个板块包含哪些知识

按数制与数据表示图谱，可以分成三层：

• 表示：进制转换、无符号整数、补码范围、IEEE 754 的符号位、阶码和尾数。
• 运算：加减、移位、乘除的电路实现，以及 CF、OF、ZF、SF 的含义。
• 转换：整数提升、不同宽度的扩展与截断、有符号和无符号混合运算、整数与浮点数转换、舍入。

先确定位宽和类型，再讨论运算。以 FFH 为例，按 8 位无符号数解释是 255，按 8 位补码解释是 −1；扩展成 16 位时，零扩展得到 00FFH，符号扩展得到 FFFFH。同一个低 8 位，后续结果可以不同。

整数题重点看表示范围和结果位；浮点题还要区分范围够不够与精度够不够。

常见考点与题型

综合题可能组合下面几类小问。先看要求求什么，再确定需要调用哪些知识。

解题前要弄清的关系

一、位串没有意义，解释方式才有

1. 同一个位串可以被解释成三种东西：无符号数、补码、IEEE754 浮点数，见 整数的表示 和 IEEE 浮点数表示
2. n 位补码范围 $-2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1$ ，n 位无符号范围 $0\sim 2^n-1$
3. 整数转换常涉及两类操作：改解释（同长度 signed ↔ unsigned，位串一个不动）或改长度（变长时零扩展 / 符号扩展，变短时直接截断），见 有符号整数和无符号整数、不同长度的类型转换
4. 混合整数运算先看整数提升、类型等级与表示范围；同等级的 int 与 unsigned int 运算通常转为 unsigned int，比较也按无符号数进行——2017#43 第 1 问的死循环就是这一条

二、运算电路和标志位

1. 加减共用一个加法器：减法先把减数各位取反、末位加 1，再当成加法送进去。所以无符号加减和带符号加减走的是同一套电路，区别只在事后怎么读这串结果位，见 加法运算电路、减法运算电路
2. 四个标志位就是这次加法顺手引出来的四根线，每根只回答一个问题：结果是否为 0（ZF）、结果最高位是什么（SF）、最高位向外有没有进位或借位（CF）、最高两位的进位是否不相等（OF）。四个同时产生，但 CF 只在把结果读成无符号数时有意义，OF 只在读成带符号数时有意义，见 条件标志
3. 乘法是「加一次、右移一位」重复 n 遍，所以 n 位乘 n 位的完整结果有 2n 位；把这 n 遍摊开成一片电路就是阵列乘法器——快，但面积大。真题只问两件事：哪种实现更快，以及只保留低 n 位会不会丢掉信息。见 乘法运算电路
4. 除法是「减一次、左移一位」重复 n 遍，因此有两种失败方式：除数为 0，以及商放不进目标寄存器（商溢出）。这是两个不同的异常，不能合成一句，见 除法运算电路
5. 乘除 2ᵏ 可以直接用移位代替（左移 k 位、算术右移 k 位），但负数算术右移是向下取整，和 C 语言除法的向零取整不一致——被问「能不能用移位实现」时这一句必须交代

三、IEEE754 单精度先把 32 位切成 1 + 8 + 23，其余全是这一刀的推论

1. 切法与偏置：符号 1 位 ‖ 阶码 8 位 ‖ 尾数 23 位，阶码里存的是「真实指数 + 127」，规格化数的尾数前面还隐含一个 1，见 IEEE 浮点数表示
2. 尾数那一刀给出有效位 24 位（隐含的 1 加 23 位尾数），在规格化数的指数范围内，需要超过 24 个有效二进制位的数不能精确表示；非规格化数的有效精度还会下降
3. 阶码那一刀给出「溢出在哪」：8 位阶码里可用的只有 1~254（真实指数 −126~127），全 0 与全 1 留作特殊值——全 1 且尾数全 0 是 ±∞（+∞ 的机器数就是 7F800000H），全 1 且尾数非 0 是 NaN，见 异常值
4. 所以判浮点溢出应看规格化和舍入之后的阶码有没有越界；尾数在运算中溢出只会导致尾数右移、阶码加 1，它本身不是溢出，见 溢出判断
5. 浮点加减固定五步：对阶（小阶的尾数右移，向大阶靠）→ 尾数加减 → 规格化 → 舍入 → 判阶码溢出，见 浮点数加减

各类题的解法

整数代码题可以按下面的顺序分析；浮点编码与精度题则使用后面的独立流程。位宽、类型和题设机器模型是两类题共同的前提。

第一步：先写位数和范围

在草稿最上面注明三项：字长几位、每个变量是什么类型、这些类型的取值范围。2011#43 是 8 位机，unsigned 范围 0~255、int 范围 −128~127，题里的 134 和 246 都超出了 int 范围——这一行写下来，后面四个小问全部有了依据。

第二步：每条 C 语句翻成两行

位串：  运算按位算出来的结果（十六进制，位数补齐）
解释：  这个位串按该变量的类型读出来是多少

在题设采用同宽补码转换模型时，可先求位模式，再分别解释有符号与无符号值。宽度变化或整数与浮点互转时，需要另外计算转换结果；x - y 这种无符号减法照样按补码加法算，只是溢出判据换成 CF。

第三步：溢出判断按类型对号入座

2020#43 第 4 问就是倒数第二行：n = 32、x = 2³¹−1、y = 2 时，umul 不溢出而 imul 溢出。

第四步：机器数写成补齐的十六进制

8 位写两个十六进制位，32 位写八个，末尾统一带 H。2017#43 要求同时给出 f1(23) 的 00FFFFFFH 和 f2(23) 的 4B7FFFFFH——同一个数值的两种编码要分别写清阶码怎么来的、尾数怎么来的。

浮点题：把精度上限与范围上限分开求

以 2017#43 给定的函数为例，先从表达式推导所需有效位数与指数，再分别与类型限制比较。下面的 n 值只对应这道题，不能作为通用阈值：

• f1(n) 与 f(n) 相等的最大 n 是 30（int 最大值是 2³¹−1）；
• f2(n) 结果精确的最大 n 是 23（f(23) 恰好 24 个 1，不需舍入）；
• f2(n) 不溢出的最大 n 是 126（再大一档舍入后阶码就到 255）。

浮点编码：先规格化，再填写字段

以单精度表示 5.5 为例：5.5=101.1₂=1.011₂×2²，符号为 0，阶码为 2+127=129，尾数字段填 011 后补 0，得到 40B00000H。反向解码时先检查阶码是否为全 0 或全 1，不能把特殊编码也按隐含 1 的规格化公式计算。

判断精确性，要看数值的二进制表示实际需要多少有效位。2²⁴ 能被单精度精确表示，但 2²⁴+1 需要 25 个有效位，无法精确表示；这说明“整数很大”本身不是不精确的充分理由。指数超出范围与尾数需要舍入，也要分别作答。

运算器与条件转移：从电路结果回到比较语义

加减题先注明是无符号还是补码解释，再选择 CF 或 OF；若题目问分支是否发生，还要按指令定义组合 ZF、SF 等标志。不能只看结果最高位就判断所有大小关系。

乘除实现题按题给数据通路列出一次迭代做什么、重复多少次、每次几个周期，再乘时钟周期。比较实现时，分别说明延迟与硬件规模；“并行更快”不能替代题目要求的具体时间计算。

历年题索引

易错清单

• 把整数与浮点转换当成位模式重解释。相同宽度不代表编码相同；整数与浮点互转需要重新编码，还可能舍入或越界。
• 未确定公共类型就比较。应先按题设类型宽度处理整数提升和通常算术转换，不能把“出现 unsigned”直接当成结论。
• 用 CF 判带符号溢出。CF 和 OF 是两套判据，2013#44 专门考这个边界。
• 浮点数以为 32 位就能精确表示 32 位整数。有效位只有 24 位。
• 尾数溢出就下结论「结果溢出」。要等规格化和舍入之后再看阶码。
• 机器数少写位数。8 位就补足两位十六进制，不能只写有效数字。

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