复杂度分析

对于输入整数 $n$，fun() 的最外层循环执行 $\log(n)$ 次，而 fun() 的最内层语句的执行次数如下：

$$ n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots + 1 $$

该级数是一个等比数列求和，其结果为 $2n$。因此时间复杂度 $T(n)$ 可以表示为：

$$ T(n) = O(\log(n)) \times O(2n) = O(n \cdot \log(n)) $$

补充说明：

• 外层循环每次将 $i$ 除以 2，共执行 $\log_2(n)$ 次
• 内层循环总迭代次数构成等比数列求和
• 最终时间复杂度由乘积项决定
• count 的最终值等于内层循环总执行次数

通过计算表达式 count = count + 1; 的执行次数可以得出时间复杂度。该表达式的执行次数为 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n-1) 次。因此时间复杂度为：

$$ O(0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + n-1) = O\left(\frac{n(n-1)}{2}\right) = O(n^2) $$

解决汉诺塔问题的递归步骤如下。设三根柱子分别为 A、B 和 C，目标是将 n 个圆盘从 A 移动到 C。
具体步骤为：

1. 将 n-1 个圆盘从 A 移动到 B，此时 A 上仅剩第 n 个圆盘
2. 将第 n 个圆盘从 A 移动到 C
3. 将 n-1 个圆盘从 B 移动到 C，叠放在第 n 个圆盘之上

上述递归解法的时间复杂度递推函数 T(n) 可表示为：
$$ T(n) = 2T(n-1) + 1 $$

• 关键观察：变量 j 在整个函数执行过程中仅初始化一次，不会随 i 的变化而重置。
• 行为分析：
  内层 while 循环的总迭代次数取决于 j 的移动方向。由于 j 始终递增且不超过 n，其最大累计移动次数为 n 次。
• 与变体对比：
  若将函数改为以下形式（j 被重置为 0）：

  void fun(int n, int arr[]) {
      int i = 0, j = 0;
      for (; i < n; ++i) {
          j = 0;
          while (j < n && arr[i] < arr[j])
              j++;
      }
  }
  

  此时内层循环会因每次 i 变化而重新遍历数组，导致时间复杂度退化为 O(n²)。
• 结论：原函数中 j 的单向移动特性使得整体时间复杂度为 O(n)。

• A) for(i=0;i<n;i++)
  时间复杂度为 $O(n)$。循环从 0 到 $n-1$，每次递增 1，共执行 $n$ 次。

• B) for(i=0;i<n;i+=2)
  时间复杂度为 $O(n/2)$。虽然每次步长为 2，但在渐近分析中与 $O(n)$ 等价。

• C) for(i=1;i<n;i*=2)
  时间复杂度为 $O(\log n)$。指数增长使得迭代次数随 $n$ 增大呈对数级增长。

• D) for(i=n;i<=n;i/=2)
  此循环为 无限循环。初始值 $i=n$ 满足 $i \leq n$，但除以 2 后 $i$ 会逐渐减小，始终满足循环条件。

综上，C 的时间复杂度最低，因此最高效。

当我们说算法 X 比 Y 渐近更高效时，意味着随着算法输入规模的不断增大，X 的运行时间最终会比 Y 的运行时间更快。这通常通过大 O 表示法（big O notation）来描述，它给出了算法最坏情况运行时间的上界。具体来说：

• 如果 X 比 Y 渐近更高效，则存在一个常数 c，使得对于所有足够大的输入，X 的运行时间 ≤ c × Y 的运行时间；
• 即 X 的大 O 复杂度类低于 Y（如 $O(n)$ vs $O(n^2)$）；
• 这表明在 大输入情况下，X 在效率上始终优于 Y；
• 然而，对于 小输入，Y 可能仍然比 X 更快（因常数因子或低阶项影响）。

因此，我们不能断言 X 是所有输入情况下的更好选择，但可以说 X 是除可能的小输入外所有输入情况下的更好选择。

• 上述代码是用于计算最大公约数（GCD）的 欧几里得算法 的实现。
• 欧几里得算法的核心思想是：若 $ a > b $，则 $ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b) $。
• 在最坏情况下，递归次数与斐波那契数列相邻两项的比值有关，其时间复杂度为 $O(\log n) $。
• 因此，选项 A 正确。

• 外层循环：执行次数为 n - n/2 + 1 ≈ n/2 次，即 Θ(n)
• 内层循环：j 每次乘以 2 直至超过 n，执行次数为 log₂n 次
• 总时间复杂度：外层循环次数 × 内层循环次数 = Θ(n) × log n = O(n log n)

• fun1() 分析
  递归关系式：$ T(n) = T(n-1) + C $
  时间复杂度：$ O(n) $（线性递归）

• fun2() 分析
  递归关系式：$ T(n) = 2T(n-1) + C $
  时间复杂度：$ O(2^n) $（指数级递归树）

关键区别：
fun1() 每次递归仅调用自身一次，形成单链递归结构；
fun2() 每次递归调用自身两次，形成二叉树状递归结构，导致子问题数量呈指数增长。

使用二分查找确定插入位置不会降低插入排序的时间复杂度。这是因为插入操作包含两个步骤：

1. 计算插入位置

   • 使用二分查找可将此步骤时间复杂度从 O(N) 降低至 O(log N)

2. 将插入位置后的数据向右移动一位

   • 此步骤始终需要 O(N) 时间复杂度

尽管第一步通过二分查找优化了时间效率，但第二步的数据移动操作仍是决定性因素。由于每次插入都需要进行一次完整的数组移动（最坏情况下），总共有 N 次插入操作，因此整体时间复杂度仍为 O(N²)。

变量 j 初始为 0，其值是 i 在每次迭代中的值之和。i 初始化为 n，并在每次迭代中减半。

• 关键分析：
  j 的累加过程为：

  $$ j = \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{8} + \dots + 1 $$

  这是一个等比数列求和，总和为 $ n - 1 $（当 $ n $ 为 $ 2^k $ 时），因此时间复杂度为 $O(n)$。

• 注意事项：

  • for 循环后的分号表示循环体为空，所有操作通过初始化和条件更新完成。

在 n 个数中找出最小值和最大值的步骤：

1. 取两个元素 (a, b)，比较它们（假设 a > b）
2. 通过比较 (min, b) 更新最小值
3. 通过比较 (max, a) 更新最大值

因此，每处理两个元素需要 3 次比较，总比较次数为 $\frac{3n}{2} - 2$，因为第一步不需要更新 min 或 max。

递推关系式为：
$$ \begin{align*} T(n) &= T(\lceil \frac{n}{2} \rceil) + T(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor) + 2 \\ &= 2T(\frac{n}{2}) + 2 \\ &= \lceil \frac{3n}{2} \rceil - 2 \end{align*} $$
代入 $n=100$ 得：$\frac{3 \times 100}{2} - 2 = 148$，即答案。

解析：

• 函数 foo() 是递归实现的，每次调用会创建新的栈帧
• 最坏情况下（当 n 为最大值时），递归调用链深度达到 n 层
• 栈空间消耗与递归深度成正比，因此空间复杂度为 O(n)
• 其他选项分析：
  • O(1) 表示常数空间，不符合递归特性
  • O(n!) 和 O(n^n) 是时间复杂度的典型表现，而非空间复杂度

这是一个陷阱题。注意问题询问的是时间复杂度，而非程序实际运行时间。对于时间复杂度而言，数组元素的存储方式并不影响结果，因为：

1. 矩阵乘法始终需要访问相同数量的 M1 和 M2 元素
2. 数组元素访问始终是常数时间 O(1)
3. 不同存储方案可能产生不同的常数因子（如缓存命中率差异），但时间复杂度本身不会改变

因此，无论采用行优先还是列优先存储，其时间复杂度仍为标准的矩阵乘法复杂度 $O(n^3)$。

• 时间复杂度分析：

  • 外层循环 for (i = 1; i < n; ++i) 运行次数为 Θ(n)
  • 中间循环 for (j=n; j > 1; j=j/2) 每次将 j 折半，运行次数为 Θ(log n)，因此变量 p 的值为 log n
  • 内层循环 for (k=1; k < p; k=k*2) 以指数方式增长，运行次数为 Θ(log p) = Θ(log log n)

• 总时间复杂度计算： $$ T(n) = n \times (\log n + \log \log n) $$ 其中 $\log n$ 是主导项，因此最终简化为： $$ T(n) = n \log \log n $$

我们只需要考虑任意三个元素并进行比较。因此，比较次数是常数，时间复杂度为 Θ(1)。

关键点：

• 需要返回任意一个既不是最大值也不是最小值的元素
• 例如数组 {10, 20, 15, 7, 90}，输出可以是 10、15 或 20
• 从给定列表中任取三个元素（如 10、20 和 7），通过 3 次比较 即可确定中间元素为 10

解析：

• 当数组中存储了 i 个数时，最坏情况发生在正负数分布最为分散的情形（如正负交替排列）
• 此时需要将所有正数与负数进行交换操作
• 最坏情况下正数的数量为 i/2
• 由于每次交换操作最多能将两个元素归位（一个正数到右侧，一个负数到左侧），因此理论最小交换次数应为 floor(i/4) 级别
• 题目中所有选项均未覆盖这一复杂度范围，故选择 “以上都不对”

解析：

1. 使用最优归并模式算法，按记录数从小到大排列文件：D → A → C → B → E
2. 初始记录数序列：5, 10, 15, 20, 25
3. 合并过程及记录移动次数计算：
   • 第一次合并 D(5) + A(10) → 新文件 F(15)，移动次数 5+10=15
   • 第二次合并 F(15) + C(15) → 新文件 G(30)，移动次数 15+15=30
   • 第三次合并 G(30) + B(20) → 新文件 H(50)，移动次数 30+20=45
   • 第四次合并 H(50) + E(25) → 最终文件 I(75)，移动次数 50+25=75
4. 总记录移动次数 = 15 + 30 + 45 + 75 = 165

因此，选项 (A) 正确。

• 函数行为：Trial(a,b,c) 实际上通过递归调用实现了对三个参数的排序逻辑，最终返回的是三者的中位数（即第二大的元素）。
• 特殊场景：当 a = b = c 时，函数会陷入无限递归循环，导致程序崩溃或栈溢出。

因此，选项 (D) 正确。

解析：

• 该问题可通过二分查找法解决
• 最坏情况下时间复杂度为 Θ(log n)
• 因此选项 (A) 正确

解析：
通过递归展开可得：
$$ T(n) = 2T(n-1) = 2[2T(n-2)] = 2^2T(n-2) $$
$$ = 2^2[2T(n-3)] = 2^3T(n-3) $$
$$ \cdots $$
$$ = 2^kT(n-k) $$

当 $ n-k=0 $ 即 $ k=n $ 时，若 $ T(0)=1 $，则：
$$ T(n) = 2^n \cdot T(0) = 2^n $$

因此时间复杂度为 $ O(2^n) $。

• 外层循环执行 $ \frac{n}{2} $ 次
• 内层循环执行 $ \log n $ 次

因此程序的总时间复杂度为 O(n log n)，对应选项 (D)

• 在二叉树中，当分支因子为 2 且高度为 n 时，空间复杂度为 O(2n)
• 在三叉树中，当分支因子为 3 且高度为 n 时，空间复杂度为 O(3n)
• 因此，若搜索树的分支因子为 b 且最大深度为 m，则贪婪搜索的空间复杂度为 O(bm)

综上所述，选项 (C) 正确。

根据题目给出的条件：$ h(4) = 88 $

$$ \begin{align*} 88 &= 2h(3) + 4h(2) \ &= 2[2h(2) + 4h(1)] + 4h(2) \ &= 8h(2) + 8h(1) \ &= 8(2 + 4k) + 8 \ &= 24 + 32k \end{align*} $$

解得 $ k = 2 $。因此选项 (C) 正确。

代码的递归关系式为 T(n) = 2T(n-1) + k。我们可以通过代入法求解该递归式：

1. 初始递归式：

   $$ T(n) = 2T(n-1) + k $$

2. 代入展开：

   $$ \begin{align*} &= 2(2T(n-2) + k) + k \\ &= 2(2(2T(n-3) + k) + k) + k \\ &\vdots \\ &= 2^x \cdot T(n-x) + k(2^x - 1) \end{align*} $$

3. 当满足基本情况时（n=1），令 x = n-1： $$ \begin{align*} T(n) &= 2^{n-1} \cdot T(1) + k(2^{n} - 1) \\ &= O(2^n) \end{align*} $$

因此，选项 (D) 正确。

确定算法效率时，时间因素是通过计算关键操作的数量来衡量的。

错误选项解析：

• 语句数量：不能通过计算语句数量来衡量，因为语句数量少并不意味着程序更高效。很多时候我们需要编写更多代码以提高效率。
• 空间复杂度：空间复杂度是以千字节为单位进行衡量的，与时间因素无关。

因此，选项 (B) 是正确的。

给定的递归函数计算非负整数 n 的阶乘。当函数以 n=5 调用时，函数会检查 n 是否等于 0。由于 n 不等于零，它返回 n 乘以将 n-1 作为输入调用相同函数的值。递归调用会持续进行直到达到基准情况（n==0）。foo(5) 的计算过程如下：

• foo(5) = 5 * foo(4)
• foo(4) = 4 * foo(3)
• foo(3) = 3 * foo(2)
• foo(2) = 2 * foo(1)
• foo(1) = 1 * foo(0)
• foo(0) = 1

逐步代入计算：

1. 将 foo(0)=1 代入 foo(1):
   foo(1) = 1 * 1 = 1

2. 将 foo(1)=1 代入 foo(2):
   foo(2) = 2 * 1 = 2

3. 将 foo(2)=2 代入 foo(3):
   foo(3) = 3 * 2 = 6

4. 将 foo(3)=6 代入 foo(4):
   foo(4) = 4 * 6 = 24

5. 将 foo(4)=24 代入 foo(5):
   foo(5) = 5 * 24 = 120

因此，当以 n=5 调用该函数时，输出为 120，即选项 C。